单连通
定义
单连通刻画的是拓扑空间X的一种整体性质。若X是道路连通的，并且X中任何一点处的回路都能在X内部连续地收缩成该点，则称X为单连通的。平面与球面都满足这一条件，环面则不满足[1]。
定义也可以用映射的语言表述。道路连通的空间X是单连通的，当且仅当任意连续映射 $f: S^1 \to X$ 都是零伦的，即与常值映射同伦；等价地说，任何从单位圆周出发的连续映射都可以延拓为定义在单位圆盘D上的连续映射 $F: D \to X$。另一条等价说法是：X道路连通，且任意两条起点与终点分别相同的道路都同伦[2]。
用基本群叙述最为简洁。道路连通空间的基本群若为平凡群，即该群只含单位元素，则该空间为单连通空间；因此单连通性可由基本群直接判定。连通但不单连通的空间称为非单连通或多重连通。
原理
单连通性的判断依赖于闭曲线能否在空间内部收缩。以圆周 $S^1$ 为例，其基本群同构于整数加群 $\mathbb{Z}$，故圆周不是单连通的[3]。环面 $T^2 = S^1 \times S^1$ 的基本群为 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，同样非单连通[3]。
对高维球面可以借助开覆盖方法论证。当 $n \ge 2$ 时，$S^n$ 可写成两个分别与 $\mathbb{R}^n$ 同胚的开集之并，这两个开集都是单连通的，且它们的交是道路连通的，由此可推出 $S^n$ 单连通，即 $\pi_1(S^n) \cong \{e\}$[4]。
直观上的判断方式是看空间是否存在贯穿的孔洞。由一块材料构成、且没有任何"洞"穿过的物体是单连通的：空心橡胶球单连通，甜甜圈与带手柄的咖啡杯则不是；在二维情形中，圆周不是单连通的，实心圆盘与直线是单连通的。
发展历程
单连通的概念随代数拓扑学的建立而逐步明确，其一般形式在20世纪的拓扑学文献中得到系统表述。1963年发表的《关于单连通区域的解析定义》讨论了空间E中单连通区域的多种定义形式，其中最一般的形式是：区域D中任何一条简单连续闭曲线都能连续收缩到D中预先指定的任意一点，且收缩过程中曲线始终是闭的并完全属于该区域[5]。
单连通性是同伦不变量，因而也是拓扑性质。若两个空间同伦等价，其中之一单连通，则另一个也单连通。这一性质还进入了几何拓扑的核心问题：单连通性是庞加莱猜想中的关键条件，该猜想讨论的是单连通的闭三维流形是否同胚于三维球面。
在复分析中，单连通区域的概念被独立地发展了很长时间。复数域C中的开集X是单连通的，当且仅当X与它的补集在黎曼球面上都是连通的；虚部严格大于0小于1的复数集合是一个无界、连通而补集不连通的开集，但它仍然是单连通的。
应用
在复分析中，单连通性保证了解析函数的积分与路径无关。若U是复平面C中的单连通开子集，$f: U \to \mathbb{C}$ 是全纯函数，则f在U上存在原函数F，且沿U中曲线从u到v的积分等于 $F(v) - F(u)$，不依赖于连接两点的具体路径。黎曼映射定理也以单连通性为前提：任何非空的开单连通真子集都共形等价于单位圆盘。
单连通性可用于区分不同的欧氏空间。$\mathbb{R}^2$ 与 $\mathbb{R}^3$ 都是可缩的，因而是单连通的；但挖去一点后，$\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ 同伦等价于 $S^1$ 而非单连通，$\mathbb{R}^3 \setminus \{a\}$ 仍是单连通的，据此可以证明 $\mathbb{R}^2$ 与 $\mathbb{R}^3$ 不同胚[6]。
该概念也被推广到其他领域。在超导研究中，若超导体内任取的一条曲线都可以收缩到一点，则称该超导体为单连通超导体，否则称为复连通超导体[7]。
局限
单连通性的定义只排除类手柄形状的孔洞，并不排除空腔。球面或空心球的表面是单连通的，即使球心处存在一个"孔"；物体在任何维度上都没有洞的更强条件称为可缩。
单连通的逆命题并不普遍成立。可缩空间必定是单连通的，但单连通空间未必可缩：欧氏空间中的凸集与n维球面 $S^n$（$n \ge 2$）都是单连通空间，而 $S^n$ 不是可缩空间。
单连通性在连续映射下不被保持。连续映射的像集可能失去单连通性，例如复平面在指数映射下的像是 $\mathbb{C} \setminus \{0\}$，它不是单连通的；类似地，实数集 $\mathbb{R}$ 自身单连通，但其单点紧化不是单连通的。
在适用范围上，局部单连通与单连通是两回事。若空间可表示为若干单连通开子集之并，则称为局部单连通，微分拓扑所讨论的空间如流形通常不满足这一条件。
参见
参考资料
- [科普中国]-单连通 [引用日期2026-10-14]
- [科普中国]-单连通空间 - 版权归原作者所有，如有侵权，请联系我们 [引用日期2026-10-14]
- openfile [引用日期2026-10-14]
- Lec21(PDF) [引用日期2026-10-14]
- 关于单連通区域的解析定义-西北师范大学学报(自然科学版)1963年01期-知网阅读 [引用日期2026-10-14]
- ecnu.edu.cn 上的 PDF 文件 [引用日期2026-10-14]
- 单连通_知网阅读 [引用日期2026-10-14]