实数

定义

实数是有理数与无理数合在一起构成的数集，通常记作 $\mathbb{R}$。有理数指一切可以表示为两个整数之比的数，例如 0、-4、81/7；无理数则是不能这样表示的数，如 $\sqrt{2}$、$\pi$^[1]。从这个角度看，整数、有限小数与无限循环小数都属于有理数，而无限不循环小数属于无理数^[4]。

另一种分类方式按是否为整系数多项式的根来划分：代数数包括所有有理数以及 $\sqrt{2}$ 这类根式，超越数则不是任何整系数多项式的根，圆周率 π 与自然对数的底 e 都是超越数^[5]。现代数学中，实数集也常被直接刻画为满足域公理、序公理与完备性公理的对象，即完备的阿基米德有序域，在保序同构的意义下这样的域只有一个^[2]。

几何上，实数与取定原点、正方向和单位长度的数轴上的点构成一一对应，有理数没有覆盖的位置由无理数补齐，因此可以说实数把数轴「填满」^[1]。此外，有理数与无理数在实数中都稠密：任意两个不相等的实数之间都还有无穷多个实数。

常见实数中，$\sqrt{2}$ 是边长为 1 的正方形对角线长度，属于代数无理数；圆周率 $\pi$ 则与圆周长和直径之比有关，属超越数^[4]。这两个数是历史上最先被反复讨论的无理数代表^[1]。

原理

实数集之所以能成为分析学的基础，核心性质是完备性。完备性可以表述为确界原理：任何非空且有上界的实数子集，在实数集中必有最小上界。它也可以表述为柯西收敛准则：实数中的柯西数列必定收敛于某个实数^[6]。有理数集不满足这些性质，例如以 $\sqrt{2}$ 的不足近似值构成的单调有界有理数列在有理数中没有极限^[3]。

刻画连续性的经典结论常被称为实数系基本定理，包括确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则共 7 条^[2]。这 7 条定理彼此等价，从不同侧面说明实数没有「空隙」；通常的处理方式是先承认其中一条作为出发点，再证明其余各条与之等价，并由此建立微积分的一系列概念与定理^[7]。

为了说明这些性质从何而来，数学家给出了把有理数扩充为实数的构造方法，思路都是先承认有理数已知，再借有理数确定数轴上的每个空隙^[8]。戴德金的方法是把有理数集分成左右两组，使左组每个元素都小于右组的一切元素，这样一「分割」对应唯一一个实数，若切点处没有有理数，就由此产生一个无理数^[9]。康托尔与梅雷的方法则把实数定义为有理柯西数列的等价类，两个有理柯西数列若差值趋于 0 便视为同一个实数^[3]。

魏尔斯特拉斯另用无穷十进小数来定义实数，此外还有用端点均为有理点的闭区间套或有界单调有理数列的定义方式^[8]。这些构造表面上方法各异，所得到的对象在结构上却是同一个实数系统，戴德金分割对应最小上界原理，柯西数列对应收敛原理，两者是相互等价的两件事^[3]。

康托尔进一步指出实数集是不可数的，即无法排成一个序列把所有实数逐个列出，这与有理数集可数形成对比^[9]。由可数性论证还可推知，虽然代数数也是可数的，超越数的数量却与全体实数同多^[5]。

发展历程

实数概念的源头是无理数的发现。大约在公元前 5 世纪，古希腊毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯发现，边长为 1 的正方形其对角线长度既不能用整数也不能用分数表示，这与该学派「万物皆数」即一切量都可以用整数或整数之比表示的信条相冲突，由此引发所谓第一次数学危机^[10]。关于希帕索斯本人的结局，淹死等说法出自后世传说，史实并不确定^[10]。

约在公元前 370 年，欧多克索斯建立了一套比例论，用处理「量」的办法绕开无理数，这一成果保存在欧几里得《几何原本》第五卷中^[11]。这种做法把数与量分开，无理数在几何中被容忍，在算术中却仍缺乏合法地位^[11]。从古希腊到 17 世纪，数学家才逐渐接受无理数，并将其与有理数平等看待；后来引入虚数概念，为示区别才把原有的数称为「实数」^[1]。

19 世纪分析严格化的需要对实数理论提出了直接要求。柯西无法证明自己提出的收敛准则的充分性，波尔查诺对连续函数介值性的证明也出了问题，这些困难使一批数学家转向无理数的逻辑基础问题^[8]。1844 年，刘维尔构造出第一个超越数的例子；1873 年埃尔米特证明 e 是超越数，1882 年林德曼证明 π 是超越数^[5]。

1872 年是实数理论成型的关键年份，这一年有多位数学家几乎同时发表了关于实数系统建构的著作，包括魏尔斯特拉斯、戴德金、梅雷、海涅与康托尔，他们从不同出发点、用不同方法描述同一个实数系统^[3]。戴德金的《连续性与无理数》当年出版，康托尔关于实数不可数的结果则在 1874 年发表^[9]。作为实数理论的一个副产品，借助魏尔斯特拉斯等人的工作，数学家得以严格证明 $\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}$ 这类等式。

实数构造依赖整数与有理数，这条链条的起点直到 1889 年皮亚诺给出自然数的公理化定义才算补齐^[12]。戴德金此前已在 1888 年的《数的性质与意义》中描述了可作为有理数公理方法基础的性质。此后集合论随之发展起来，实数集的结构问题也成为集合论研究的起点之一^[9]。

应用

实数最直接的用途是刻画连续量。距离、时间、质量等物理量在数学建模中被当作实数处理，物理常数与物理变量通常也取实数值^[13]。数学分析研究的函数，其自变量取实数值，因此认识实数被视为建立严格分析理论不可缺少的基础^[8]。

微积分中的极限、导数与积分都建立在实数完备性之上，确界原理、闭区间套定理等基本定理是证明这些定理的工具，在微积分各定理中处于基础地位^[2]。除多项式与有理分式之外，中学数学里的许多初等函数也必须在实数范围内才能定义^[8]。

在计算领域，实数通过浮点数这一有限精度的近似形式进入计算机。国际上通行的 IEEE 754 标准规定了单精度与双精度等二进制浮点格式，多数科学计算使用浮点运算而非真正的实数运算^[13]。除浮点逼近外，还有计算机代数系统直接对 $\sqrt{2}$ 这类对象作符号运算，以及以任意精度逼近实数的可计算实数方法^[13]。

测量实践中也大量用到有理逼近的思想。以误差小于 0.001 厘米的精度测量边长 1 厘米的正方形对角线时，1.414 厘米这样的有理数已足够精确，这正是无理数长期未被察觉的原因之一^[1]。

局限

实数的一个根本限制在于，绝大多数实数无法被任何算法逐一生成。可计算实数指存在算法能产出其各位数字的实数，而算法只有可数多个，实数却不可数，因此几乎全部实数都不是可计算的^[13]。进一步说，两个可计算实数是否相等这一问题本身是不可判定的^[13]。

计算机无法直接存储任意实数。浮点数只是实数的一个有限子集，位数受分配的字长限制；在浮点运算中，交换律之外的一些算术规律会失效，$a(b+c)$ 与 $ab+ac$ 未必相等，$(\sqrt{x})^2$ 也未必等于 x^[13]。两个相近数相减时，前面若干位有效数字相互抵消，相对误差被放大，这类现象需要在算法设计时另行处理^[14]。

实数本身也不能封闭所有代数运算。负数在实数范围内没有平方根，这一不足推动数系进一步扩充到复数。此外，实数系统的完备性论证依赖对无穷集合的处理，例如确界原理要涉及非空有上界的实数子集，这类对象的存在性并不能靠有限步骤直接验证。

在物理建模层面，实数所允许的无限精度是否有对应的物理意义，也存在讨论。基于贝肯斯坦界限的考虑，有观点认为物理宇宙中不存在具有无限精度的实数^[13]。

参见

• 有理数 —— 实数中有理的部分，指可写成两整数之比的数。

• 无理数 —— 实数中不能表示为整数之比的数，如实数概念的直接来源之一。

• 数轴 —— 与实数一一对应的几何模型。

• 复数 —— 实数系的进一步扩充，使负数开方等运算成为可能。

• 柯西数列 —— 构造实数并刻画其完备性的核心工具。

• 戴德金分割 —— 从有理数构造实数的一种经典方法。