cot
定义
在平面直角三角形中，若取一个锐角，则该角的余切值等于它的邻边长度除以对边长度，写作 $\cot\theta=\frac{b}{a}$，其中 b 为邻边、a 为对边；由此可以看出，余切与正切互成倒数关系[3][2]。
把角放到直角坐标系里，设角 α 的终边上有一点 P(x,y)，它到原点的距离为 $r=\sqrt{x^2+y^2}$，则余切可写成横坐标与纵坐标之比 $\cot\alpha=\frac{x}{y}$，这一形式把余切推广到了任意角[3]。
从函数角度看，余切还可以表示成余弦与正弦的商，即 $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\tan x}$；同时它与正切之间满足 $\cot x=\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$，属于正切的余角函数[1]。需要注意，$\frac{1}{\tan x}$ 与 $\tan^{-1}x$ 含义不同，后者指的是反正切函数[1]。
原理
余切是周期函数，最小正周期为 π，即 $\cot(x+\pi)=\cot x$ 对定义域内的 x 都成立；当 x 取 kπ（k 为整数）时，正弦值为 0，余切没有有限取值，函数图像在这些位置被一条条竖直的渐近线 $x=k\pi$ 分开[1][3]。
它的定义域是不等于 kπ 的全部实数，值域为全体实数，函数无最大值也无最小值[2]。由于 $\cot(-x)=-\cot x$，余切是奇函数，图像关于原点对称；在每一个开区间 $(k\pi,(k+1)\pi)$ 内它单调递减，但在整个定义域上并不单调[4]。
对余切求导可得 $\cot' x=-\csc^2 x$，相应地它的不定积分为 $\int\cot x\,dx=\ln|\sin x|+C$[3]。在复数范围内，余切可通过指数形式表达为 $\cot z=\frac{i(e^{iz}+e^{-iz})}{e^{iz}-e^{-iz}}$，科普中国给出的等价形式为 $\cot z=i\frac{e^{2iz}+1}{e^{2iz}-1}$[3][1]。
余切在三角形中还对应一条定理：设三角形三边为 a、b、c，半周长 $s=\frac{a+b+c}{2}$，内切圆半径为 ζ，则角 α 的一半满足 $\cot\frac{\alpha}{2}=\frac{s-a}{\zeta}$，三个角上存在同样的关系[3]。
发展历程
余切的渊源可以追溯到古代天文的弦表计算，早期的表格主要用于由角度推算弦长，还没有把余切单独列出[5]。9 世纪时，阿拉伯天文学家阿尔·巴塔尼提出正切概念，把日影长度与立杆高度的比值作为正切，余切作为其余角的对应量在这一体系中自然出现[5]。
符号方面，余切最早使用的记号并非今天的写法，其后被简化为 ctg，最终定为 cot 并沿用至今[3]。进入解析数学阶段后，棣莫弗与欧拉等人把三角函数纳入分析与级数体系，余切的复数展开、微分和积分关系随之建立[5]。
中国古代的勾股测量术中已有与余切等价的比值思想，明代徐光启与利玛窦合译西方测量著作时，把对应的欧洲三角学术语引入中文文献[5]。
应用
在测量与导航中，余切用于由水平距离推算高度、由角度推算距离一类的三角关系，早期的天文弦表和日影测高都依赖这类比值[5]。在地形、建筑放样和天文观测的经典三角计算里，余切与正切、余割配合使用，可以把角度观测值转换成边长数据[2]。
在数值计算和软件中，余切通常作为标准数学函数提供。MATLAB 的 cot 函数按元素计算弧度角的余切，支持实数与复数输入，并以单、双精度以及表、时间表等多种数据类型作为参数[6]。Wolfram 语言中的 Cot 支持符号与数值运算、任意精度计算和自动逐项作用于列表[7]。
在电子表格和数据库里也有对应实现，例如 Google 表格的 COT 函数返回以弧度表示的角的余切值，输入 0 时返回除零错误[8]；Amazon 的相关 SQL 参考中，COT 接受非零数值参数并返回其余切[9]。
在理论层面，余切定理把三角形半角与内切圆半径联系起来，是解三角形的一类工具，与正弦定理、余弦定理并列使用[3]。
局限
余切在 x=kπ 处没有定义，函数值趋于无穷，因此不能用它直接表示包含这些点在内的连续关系，涉及这些位置的积分与极限需要单独讨论[1]。同样因为周期为 π，余切不是单射函数，同一个函数值对应无穷多个角，求反函数时必须限定区间才能得到唯一结果[7]。
在计算机浮点运算中，π 无法被精确表示，所以在按 π 的倍数输入时，cot 往往不会返回无穷大，而是给出一个绝对值极大的有限数；MATLAB 文档明确把这一行为描述为浮点运算下 cot 的有界性[6]。这意味着在数值程序里判断余切是否发散，不能简单依赖结果是否等于无穷。
余切只在 $(k\pi,(k+1)\pi)$ 这样的单个开区间内单调递减，跨区间比较大小会失去意义，用单调性做不等式推演时必须先确认所讨论的角度落在同一区间内[4]。此外，余切的图像由无穷多支互相分离的曲线组成，不能像多项式那样用一条连续曲线整体刻画[2]。
参见
参考资料
- 图文详情——科普中国资源服务 [引用日期2026-10-29]
- 余切_百度百科 [引用日期2026-10-29]
- 余切 [引用日期2026-10-29]
- 高考网-北京新东方学校 [引用日期2026-10-29]
- 余切[yú qiē] [引用日期2026-10-29]
- cot [引用日期2026-10-29]
- Cot—Wolfram Documentation [引用日期2026-10-29]
- COT 函数 [引用日期2026-10-29]
- COT 函數 [引用日期2026-10-29]