正弦

定义

在直角三角形中，若其中一个锐角为 $\angle A$，则它的正弦等于该角的对边长度除以斜边长度，记作 $\sin A$。这个比值只随角的大小改变，与三角形的大小无关，其定义与余割函数互为倒数^[1]。在平面直角坐标系中，取角 $\alpha$ 终边上一点 $P(x,y)$，记它到原点的距离为 $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，则 $\sin\alpha=\frac{y}{r}$^[1]。

若把角的顶点放在原点、始边与 $x$ 轴正半轴重合，终边与半径为 1 的单位圆交于一点，那么该点的纵坐标就等于这个角的正弦，即 $\sin\theta=\frac{y}{1}$。由于可以绕圆继续旋转，正弦对大于 $2\pi$ 或小于 $-2\pi$ 的角同样有定义，并满足 $\sin\theta=\sin(\theta+2\pi k)$，其中 $k$ 为整数^[1]。由此得到的函数 $y=\sin x$ 定义域为全体实数，值域为 $[-1,1]$^[3]。

原理

正弦函数是周期函数，最小正周期为 $2\pi$（即 360°）；当自变量为 $\frac{(4n+1)\pi}{2}$ 时取最大值 1，为 $\frac{(4n+3)\pi}{2}$ 时取最小值 -1。它是奇函数，图像关于原点对称，零点位于 $k\pi$ 处^[1]。正弦与余弦之间满足平方关系 $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$，并有和角公式 $\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$，二倍角公式 $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ 也由此导出^[3]。

正弦的导数等于余弦，余弦的导数等于负的正弦，因此正弦函数满足微分方程 $y''=-y$，这一性质也可用作正弦的解析定义^[1]。此外，正弦还可以写成无穷级数 $\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots$，该级数对一切实数收敛，便于在计算中逐项求值^[1]。

只有在一个最小正周期的半个区间内，正弦函数才存在反函数，即反正弦函数；整体上它不具备单值意义下的反函数^[1]。在几何中，正弦值与三角形边长、外接圆直径之间由正弦定理联系：任意三角形各边与其对角正弦之比相等^[4]。

发展历程

三角学的研究可追溯到古希腊，早期学者以圆内弦长制表，其数值与现代正弦函数存在等价关系。公元 5 世纪，印度数学家阿耶波多在《阿耶波提亚》中改用半弦对应半弧，给出了间隔 3.75° 的正弦值表，这与现代正弦的定义已经一致，正弦函数由此首次被明确使用^[2][5]。

印度人把连结弧两端的弦称为“吉瓦”，意为弓弦，半弦则称“阿尔哈吉瓦”。该词传入阿拉伯文后被误译为“弯曲、凹处”，12 世纪转译成拉丁文时写成 sinus，英文 sine 即由此而来^[2]。符号 sin 取自拉丁文 sinus，这一写法最早由瑞士数学家欧拉使用^[6]。

14 世纪，印度喀拉拉邦的马达瓦学派把正弦、余弦等函数展开为幂级数，相关研究早于欧洲同类工作约 300 年^[7]。在中文化用方面，明代译作《大测》中把 sine 译为“正半弦”，后简称为“正弦”，这一名称沿用至今^[2]。

应用

正弦是测量与几何计算的常用工具。借助正弦定理，已知三角形两角与一边、或两边与其中一边的对角时，可以求出其余边角，这类计算在三角测量中十分常见^[1]。在解直角三角形问题中，正弦把角度与边长比值对应起来，是坡度、高度一类间接测量问题的基础^[3]。

由于正弦是描述周期性变化的基本函数，它被用于研究振动、波动等周期现象，并在物理学的相关计算中作为常用工具^[3]。工程与科学计算中，正弦值通常由计算软件按弧度求取；若输入为角度，需先乘以 $\pi/180$ 换算为弧度^[8]。在天文学、测绘、航海等领域，三角函数的计算也长期承担着实用功能^[9]。

局限

正弦函数在整个实数域上周期重复，满足 $\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta$，因此不同角度可能给出相同的正弦值，不能由函数值唯一反推角度。只有在长度为 $\pi$ 的半周期区间内限制定义域，才可定义单值的反正弦函数^[1]。

作为比值定义的函数，正弦的取值被限制在 $[-1,1]$ 之间，无法直接表示超出这一范围的比例关系^[3]。此外，正弦的数值需要借助级数、查表或数值方法求得，除特殊角（如 30°、45°、60°）外通常没有简单的精确表达^[8]。

参见

• 余弦 —— 与正弦同属基本三角函数，二者满足平方和为 1 的关系。

• 正切 —— 由正弦与余弦之比定义的三角函数。

• 反正弦函数 —— 正弦函数在半周期区间上的反函数。

• 正弦定理 —— 描述三角形边长与其对角正弦之比的几何定理。

• 三角函数 —— 正弦所属的函数类别。