导数

定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义,给自变量一个增量 $\Delta x$,相应的函数增量为 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。如果增量之比 $\Delta y/\Delta x$ 在 $\Delta x\to 0$ 时的极限存在且有限,则称函数在 $x_0$ 处可导,该极限值就是函数在 $x_0$ 处的导数,记作 $f'(x_0)$ 或 $\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=x_0}$^[3]。

极限存在只要求左、右两个单侧导数相等,两者不相等时该点不可导^[4]。函数在区间内每一点都可导时,各点导数构成定义在该区间上的新函数,称为导函数,也简称为导数;求导就是由已知函数求其导函数的过程^[1]。

由于函数的微分与自变量微分之商等于导数,导数也称作微商^[2]。可导与可微在一元函数的情形下彼此等价^[5]。

原理

导数刻画的是函数在一点附近的瞬时变化率。以直线运动为例,位置函数 $s(t)$ 在时间区间内的平均速度是位移与时间间隔之商,令时间间隔趋于零,该商的极限即瞬时速度,也就是位置对时间的导数^[6]。同一极限在几何上给出割线斜率的极限,即曲线在该点切线的斜率,切线方程可写成 $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$^[7]。

可导与连续之间存在单向关系:函数在一点可导则必在该点连续,但连续的函数未必可导^[3]。例如绝对值函数在原点连续,但左、右导数分别为 -1 和 1,该点导数不存在^[7]。

求导运算可借助若干基本法则化简:和差的导数等于导数之和差,乘积按 $(uv)'=u'v+uv'$ 展开,商的导数按 $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ 计算;复合函数则遵循链式法则 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$^[6]。这些法则均来自极限的四则运算性质^[1]。

导函数再求导得到二阶导数,记作 $f''(x)$ 或 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$,依此类推可定义高阶导数^[6]。在力学中,速度是坐标对时间的一阶导数,加速度则是二阶导数^[8]。

发展历程

17 世纪,透镜设计与炮弹弹道计算促使欧洲数学家研究曲线切线。1630 年代,法国数学家吉尔·德·罗伯瓦尔作了最初尝试,费马在求切线时已使用无穷小量的思路^[5]。1660 年代,英国数学家牛顿提出“流数”概念,把各量随时间的增长速度称为流数,其实质就是导数^[5]。

德国数学家莱布尼茨用增量之比 $dy/dx$ 表示导数,其记号首次出现于 1684 年的论文,后来成为通用写法之一^[5]。牛顿记法在函数符号上方加一点,多见于物理与微分方程场合^[1]。

早期微积分对无穷小量的说明并不严密,贝克莱主教曾以“消失量的鬼魂”质疑流数,认为它等于 0 与 0 之比^[5]。19 世纪,波尔查诺明确指出导数是一个比值所趋向的数而非 0 与 0 之比,柯西在《无穷小分析教程概论》中采用同样的定义,导数概念由此趋于严格^[5]。

1872 年,魏尔斯特拉斯借助三角级数构造出处处连续却处处不可导的函数,推翻了此前关于连续函数除少数点外均可导的猜测^[9]。这一反例促使分析学摆脱对几何直观的依赖^[10]。

应用

在函数研究中,导数是判断单调性与凹凸性的工具:一阶导数符号决定函数增减,二阶导数符号反映曲线的凹凸情况;函数在可导的极值点处一阶导数为零,据此可求极大值、极小值与最值^[11]。中值定理、洛必达法则与泰勒公式等分析工具也建立在导数之上^[11]。

在物理学中,各种瞬时速度、密度、浓度与强度都是相应物理量关于时间或空间的导数^[12]。在经济学中,总成本、总收益与总利润关于产量的导数称为边际函数,用于边际分析;令利润的导数为零可求得最优产量^[13]。

在数值计算与工程技术中,解非线性方程可用牛顿迭代法,其迭代格式依赖导数信息;函数增量用微分近似代替,也是工程估算微量变化的常用做法^[14]。

局限

导数的存在需要极限收敛,函数并非处处可导。导数定义要求自变量从两侧逼近时增量之比趋于同一有限值,因此尖点、角点处的导数不存在,如绝对值函数在原点即为一例^[7]。函数在该点不连续时必然不可导,而无定义、无穷大导数等情形也使求导无法直接进行^[4]。

要求全部点可导是相当强的限制。魏尔斯特拉斯函数这类处处连续处处不可导的函数表明,连续性与可导性之间没有反向保证,而且从拓扑与测度意义看,这类函数在连续函数空间中并不稀少,处处不可导者甚至是稠密的^[9]。

可导性只是局部性质,一点处的导数仅反映该点邻近的变化率,不提供函数在较大范围内的整体行为,因此常需结合中值定理等工具作全局分析^[7]。对于经济数据等本身不连续或仅有离散观测的对象,通常要先假设其可微才能套用边际分析,否则不能直接求导^[13]。

参见

• 微分 —— 函数增量的线性主要部分,与导数在一元函数中互相等价。

• 极限 —— 导数由增量之比的极限定义,极限理论是其严格化的基础。

• 积分 —— 与求导互为逆运算,二者由微积分基本定理相联系。

• 导函数 —— 函数在各点导数构成的新函数,是导数概念的区间推广。

• 魏尔斯特拉斯函数 —— 处处连续而处处不可导的著名反例,说明可导性的限制。

• 泰勒公式 —— 利用各阶导数对函数作多项式逼近的分析工具。