受迫振动

定义

受迫振动指振动系统在持续的外界周期性或非周期性力作用下被迫进行的振动，这个外界力称为驱动力，也叫强迫力或策动力^[3]。与之相对的是系统受一次扰动后靠自身弹性恢复力维持的自由振动，后者会因摩擦阻尼不断耗能而逐渐衰减，受迫振动则依靠外力持续输入能量而维持下去^[1]。

受迫振动既可以由周期性力激发，也可以由非周期性的持续作用引起；当外力激励是周期性的并且持续存在时，系统进入稳态振动^[3]。稳态受迫振动在形式上表现为简谐振动，但它的角频率等于驱动力的角频率而非振子的固有频率，其振幅和初相位也不取决于初始状态，而由振子性质、阻尼大小和驱动力特征共同决定^[1]。

原理

设质量为 $m$ 的振子在弹性力、与速度成正比的阻力和周期性驱动力 $F = H\cos\omega t$ 共同作用下运动，由牛顿第二定律可得动力学方程 $m\dfrac{d^2x}{dt^2} + \gamma\dfrac{dx}{dt} + kx = H\cos\omega t$，整理后写为 $\dfrac{d^2x}{dt^2} + 2\beta\dfrac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = h\cos\omega t$，其中 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ 为系统固有频率，$\beta$ 为阻尼系数^[4]。方程的通解由两部分构成：一部分是随时间指数衰减的暂态解，代表阻尼振动；另一部分是振幅恒定的稳态解 $x = A\cos(\omega t + \varphi)$，暂态过程结束后系统只剩下这一项^[1]。

稳态振幅为 $A = \dfrac{h}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2\omega^2}}$，初相位满足 $\tan\varphi = \dfrac{-2\beta\omega}{\omega_0^2-\omega^2}$^[2]。从能量角度看，驱动力在一个周期内有时做正功、有时做负功，但总效果是输入能量，当每周期输入的能量恰好补偿阻尼消耗的能量时，系统维持等幅振动；一旦撤去驱动力，振动就会重新变成减幅振动^[1]。

驱动力频率与振幅的关系可以由幅频曲线描述：小阻尼时曲线呈单峰，阻尼越小峰越尖锐，峰顶对应的频率即共振频率。使位移振幅取极大值的频率为 $\omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2}$，略小于系统的固有频率^[2]；而速度幅值取极大值的条件恰好是驱动力频率等于固有频率，因此通常所说「驱动力频率等于固有频率时发生共振」，严格讲指的是速度共振，只有在阻尼很小时两者才不必区分^[1]。此外，不论阻尼大小，在 $\omega_0$ 处响应与激励的相位差均为 $\pi/2$，这一特征可用于共振测量。

flowchart LR

A[周期性驱动力] --> B[受迫振动系统]

B --> C[暂态振动：随时间衰减]

C --> D[稳态振动：频率等于驱动力频率]

E[阻尼耗能] --> B

B --> F{驱动力频率与固有频率比较}

F -->|接近| G[振幅急剧增大：共振]

F -->|远离| H[振幅较小]

发展历程

对受迫振动与共振的定量研究伴随经典力学的发展而展开，其核心是受周期外力的阻尼振子微分方程的求解，暂态解与稳态解的分解由此确立^[5]。在工程领域，共振造成的破坏长期推动着相关研究：1940 年 7 月 1 日，美国华盛顿州横跨普吉特海峡的塔科马海峡大桥建成通车，该桥跨径 853 米，通车后即出现上下起伏的振动，被称为「舞动的格蒂」；同年 11 月 7 日，风速约每秒 19 米的大风中大桥扭转振动不断加剧，最终断裂坠入海峡，成为 20 世纪著名的工程事故之一^[6]。

事后空气动力学家冯·卡门对事故给出解释，认为大桥侧壁在强风下形成周期性脱落的旋涡即卡门涡街，其拍打频率与桥梁固有频率相近而引发共振，这一说法曾长期写入教科书^[6]。不过自 20 世纪 90 年代起，风洞试验显示大桥扭转振动频率约为 0.2 赫兹，与约 1 赫兹的旋涡脱落频率并不接近，研究据此认为事故主因是气动弹性颤振而非涡激共振，两种现象性质不同^[6]。

在术语规范方面，受迫振动长期是物理学与工程力学的标准名词，其英文对应词为 forced vibration。2019 年，经全国科学技术名词审定委员会审定发布的《物理学名词》第三版收录了含义相近的「受驱振荡」（driven oscillation），指系统在周期性外力作用下所维持的振动。

应用

共振是受迫振动最重要的应用切入点。乐器通过琴弦振动激发共鸣箱内空气共振来发声，建筑工地上利用共振提高混凝土的密实质量，微波炉依靠微波与水分子发生共振来加热食物^[2]。共振筛、共振打桩、簧片式转速度计以及收音机、电视机接收信号，也都建立在受迫振动与共振的基础上^[7]。

在医学影像领域，核磁共振利用强磁场中人体氢原子核在特定射频脉冲作用下发生磁共振、弛豫时间不同的特点来重建图像，对含水量高的软组织分辨能力较好^[2]。在工程力学中，受迫振动分析是隔振器设计的基础，例如对超结构粘弹性阻尼隔振器的研究通过有限元分析与实验对比振动传递率和能量耗散；流体力学中则用受迫振动模型研究圆柱等结构在流场中的横向动力响应与锁定区间。

局限

受迫振动的线性稳态理论建立在驱动力为简谐形式、阻尼与速度成正比等简化假设之上，属于理想化模型^[4]。理论给出的共振时振幅趋于无穷的结论在现实中并不成立，阻尼和物理约束会限制振幅，但共振状态下的剧烈振动仍可能造成结构断裂等严重后果^[8]。

该理论也难以直接解释若干实际破坏现象。以塔科马海峡大桥为例，其坍塌长期被归因于涡激共振，但后续研究指出扭转振动频率与旋涡脱落频率相差数倍，属于自激振动性质的气动弹性颤振，需要引入非定常流体—结构耦合等更复杂的模型才能描述^[9]。此外，实际系统的驱动力往往是非定常的冲击或任意持续作用，此时响应不再稳定，需要借助脉冲响应法等工具另行处理。

在防护层面，避免共振危害的手段也各有边界：改变系统固有频率、调控驱动力频率、减小振幅以及采用玻璃棉、橡胶等减振吸声材料，都需要针对具体结构设计，无法一劳永逸地消除振动^[2]。

参见

• 共振 —— 受迫振动中驱动力频率接近系统固有频率时振幅急剧增大的现象。

• 阻尼振动 —— 受迫振动过程中振幅随时间衰减的自由振动成分。

• 简谐振动 —— 受迫振动达到稳态后所呈现的运动形式。

• 固有频率 —— 决定受迫振动是否发生共振的系统自身参数。

• 卡门涡街 —— 流体绕过障碍物时交替脱落的旋涡，可激发结构振动。