斯皮尔曼秩相关系数

定义

斯皮尔曼秩相关系数是用来描述两组观测之间单调关联程度与方向的一个统计量,通常记作 ρ 或 r_s^[1]。它的做法是把每个变量内部的观测值按从小到大替换成秩次,例如最小值记为 1、第二小记为 2,得到两组秩向量,再对这两组秩次求皮尔逊相关系数^[2]。因此也可以把它理解为衡量两个变量排序一致性的指标:排序越接近,系数越接近 +1;排序越相反,系数越接近 −1^[3]。

当所有秩次都是互不相同的整数时,系数可以用一条简化的秩差公式计算,即把每个观测在两组中的秩之差 d_i 平方后求和,再代入 $\rho = 1 - \dfrac{6\sum d_i^{2}}{n(n^{2}-1)}$,其中 n 为观测对的数量^[4][5]。如果数据中存在并列值,则给并列的观测赋予它们所在位置的平均秩,并采用带并列修正项的公式计算^[6][7]。

原理

斯皮尔曼系数的工作机制建立在「只保留次序、丢弃数值刻度」这一转换上。原始观测被替换为等间距的秩次后,数值之间的疏密与量纲被抹去,只剩下排列顺序这一信息,而排列恰好决定了变量之间是否同向变化。这也解释了它在数学上与皮尔逊系数的关系:两者使用同一个公式,区别只是斯皮尔曼系数代入的是秩次而非原始数值^[7]。

正因为尺度的差异被消除,只要一个变量是另一个变量的单调函数(无论这种函数是直线还是曲线),系数的绝对值就会达到 1^[8]。相比之下,皮尔逊系数只刻画线性关系,遇到弯曲但单调的散点分布会低估关联强度^[7]。在推断方面,当原假设为两者相互独立时,ρ 的分布以 0 为均值且关于 0 对称,方差约为 1/(n−1);n 较大时可以用统计量 $t_s = \rho\sqrt{\dfrac{n-2}{1-\rho^{2}}}$ 近似服从自由度为 n−2 的 t 分布来做显著性检验^[6]。

flowchart LR

A[原始观测 x, y] --> B[各自升序排名]

B --> C[得到秩向量]

C --> D[对秩向量计算皮尔逊相关]

D --> E[斯皮尔曼系数 rho]

发展历程

这一系数的名称来自英国心理学家和统计学家查尔斯·斯皮尔曼(Charles Edward Spearman)。1904 年,他在《美国心理学杂志》上发表《The Proof and Measurement of Association Between Two Things》一文,讨论如何度量两种事物之间的关联,秩相关的方法即出自这一时期的工作^[9][10]。同一时期他还发表了对一般智力因素的研究,这类研究需要处理大量测验成绩之间的相关,为其统计方法提供了直接的问题背景^[11]。

关于这一系数究竟由谁首先提出,后来的研究并不完全一致。1995 年发表的一篇方法学论文梳理了 1904 年至 20 世纪 50 年代初的文献,认为很难把该系数简单地归属于某一个人,包括斯皮尔曼本人^[12]。另外,斯皮尔曼在 1904 年与 1906 年前后曾提出过 3 种不同的秩相关指标,通常所说的斯皮尔曼 ρ 只是其中的一种^[13]。

应用

在心理学与教育测量中,斯皮尔曼秩相关系数被大量用于处理等级评定、量表得分这类数据,因为这类数据往往不满足正态性假设,而且容易出现极端个案^[14]。有研究指出,当变量呈现厚尾分布或存在异常值时,以 r_s 代替 r_p 可将标准差降低约 20%^[14]。它也被用于衡量多位评阅人评分顺序的一致性,以及在多变量统计中用 ρ 替代皮尔逊相关来检验若干随机变量相互独立这一原假设^[4]。

在生物学与基因组学领域,微阵列等基因表达数据常包含噪声与离群点,研究者用斯皮尔曼系数评估基因表达谱之间的关联,以降低个别极端测量带来的偏差。也有比较研究把皮尔逊系数与斯皮尔曼系数并列,用于基因表达关联分析,考察二者在不同分布条件下的表现差异^[15]。针对生物数据中常见的非线性和非参数特征,方法学评论建议在考察双变量单调关系时采用斯皮尔曼相关或肯德尔 tau,而不宜只依赖线性的皮尔逊相关。此外,该系数在生态学、经济学和计算机科学中也被用作发现变量间单调关联的通用工具^[16]。

局限

斯皮尔曼秩相关系数只能刻画单调关系。如果两个变量之间存在非单调的关联,例如先增后减的倒 U 形关系,系数可能接近 0,从而无法反映实际存在的依赖。相关系数为 0 只表示没有单调关联,并不代表两个变量相互独立^[2]。同时,该系数只利用次序信息,数值之间的相对距离在排名过程中被舍弃,因此不再保留原始量级的差异。

在与其他秩方法比较时,它的表现也并非总是占优。模拟研究显示,当数据不存在并列值时,肯德尔 tau 给出的置信区间更窄;但一旦数据中出现并列值,无论并列比例高低,斯皮尔曼系数的覆盖率更接近名义水平,而肯德尔 tau 会随并列数量增加而偏离,在相关较强时尤为明显^[7]。在正态情形下,由于肯德尔相关具有更小的总误差敏感度和渐近方差,部分场合下被认为更稳健高效,但其解释不如 ρ 直观^[17]。

此外,显著性结果本身需要谨慎解读。有评论指出,显著的关联既可能来自两个变量真实的非独立性,也可能由技术性因素造成,例如微阵列分析中归一化不到位可能产生虚假关联^[18]。相关分析的结论也受样本量与原假设检验假设的影响,在解读时应结合具体的数据处理流程。

参见

• 皮尔逊相关系数 —— 线性相关的度量,斯皮尔曼系数正是把它的公式用在秩次上。

• 肯德尔秩相关系数 —— 另一种基于秩次的非参数相关指标,常与斯皮尔曼系数比较使用。

• 非参数统计 —— 不依赖总体分布假设的统计方法,斯皮尔曼秩相关属于其中的相关分析工具。

• 单调函数 —— 系数取值达到 ±1 的条件,即一个变量是另一个变量的单调函数。

• 秩次 —— 系数计算的核心输入,把观测值按大小转换为次序。

• 因子分析 —— 斯皮尔曼在处理测验成绩相关问题时的另一项重要工作。