有理数

定义

有理数指可以表示成两个整数之商的数,一般写作 $\frac{a}{b}$,其中 $a$、$b$ 都是整数且 $b$ 不为零。按这种定义,整数被看作分母为 1 的分数,因此任何整数都同时是有理数^[1]。全体有理数构成的集合用字母 $\mathbb{Q}$ 表示,它是整数集 $\mathbb{Z}$ 的扩充,整数集是有理数集的真子集^[2]。

中学教材常采用另一种等价表述:正整数、零、负整数统称整数,正分数与负分数统称分数,整数和分数合起来就是有理数^[3]。按符号还可以再分,正整数与正分数称正有理数,负整数与负分数称负有理数,再加上零,三者构成有理数集的全部^[4]。

原理

有理数的核心在于“比”。一个有理数除以另一个非零有理数,结果仍是两个整数之比,所以有理数集对加、减、乘、除四种运算封闭,构成一个域^[5]。在这个域里,加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律与分配律都成立,每个数有加法逆元,每个非零数有乘法逆元;此外还存在通常的大小顺序,并且任意两个有理数都可以比较大小^[5]。

有理数与十进制小数的关系由长除法决定。计算 $\frac{p}{q}$ 时每一步的余数只能是 $0$ 到 $q-1$ 之间的整数,余数若在某一步变为零,商就是有限小数;若始终不为零,则因余数种类有限,必然重复出现,商就成为无限循环小数。反过来,任何有限小数或无限循环小数也都能化成分数,因此有理数也可定义为有限小数与无限循环小数^[5]。

有理数集有两个常被并列讨论的性质。其一是稠密性:对任意两个不相等的有理数 $a<b$,取 $\frac{a+b}{2}$ 即得介于二者之间的有理数,反复进行便知其间有无穷多个有理数,而整数集不具备这一特点^[2]。其二是可数性:全体有理数可以按某种顺序排成一列,与自然数建立一一对应,因而其基数与自然数相同,尽管它在数轴上是稠密的^[6]。

flowchart LR

A[自然数 0,1,2,...] --> B[整数 含负整数]

B --> C[有理数 p/q, q≠0]

C --> D[实数 含无理数]

数轴上的有理点密密麻麻,却没有把数轴填满。任意两个不同的有理数之间必定存在非有理数,所以有理数与数轴上的点不能建立一一对应,数轴上还留有无数“空隙”,这些空隙对应的正是无理数^[2]。正因为缺少这些点,有理数集在通常的度量下并不完备,数学分析中需要把有理数补全才能得到实数系^[6]。