调和函数

定义

调和函数是区域上满足拉普拉斯方程的二阶连续可微实值函数。设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的区域，若 $u \in C^2(\Omega)$ 在 $\Omega$ 内处处满足 $\Delta u = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + \cdots + \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_n^2} = 0$，就称 $u$ 为 $\Omega$ 上的调和函数。自变量个数为 $n$ 时，相应区域是 $n$ 维的，这类函数被称为 $n$ 维调和函数；实际工作中最常见的是 $n=2$ 和 $n=3$ 的情形。

在数学、数学物理和随机过程理论中都有调和函数的概念，几种等价定义给出的结果一致。除用二阶偏导数描述外，还可以用并不要求事先光滑的广义方式定义：把局部可积函数看作广义函数，只要它同所有紧支集光滑函数的拉普拉斯算子之积的积分为零，就是调和的，这与经典定义等价^[2]。

若把拉普拉斯方程换成 $\Delta u \geq 0$ 或 $\Delta u \leq 0$，则分别得到次调和函数与超调和函数，二者兼备即为调和函数。常用的例子包括任意全纯函数的实部与虚部、平面上的 $\ln\sqrt{x^2+y^2}$ 以及 $e^{x_1}\sin x_2$ 等。

原理

拉普拉斯算子在一点的值衡量的是该点函数值与邻域平均值的偏离程度，因此 $\Delta u = 0$ 意味着函数在每一点都严格等于周围取值的平均^[1]。这一平均值性质有球面与球体两种表述，对任意完全落在定义域内的球 $B_r(x)$ 都成立：$u(x) = \dfrac{1}{|\partial B_r|} \displaystyle\int_{\partial B_r(x)} u \, dS = \dfrac{1}{|B_r|} \displaystyle\int_{B_r(x)} u \, dy$^[3]。

flowchart LR

A["u ∈ C²(Ω)"] --> B{"Δu = 0？"}

B -- 是 --> C["调和函数"]

B -- 否 --> D["非调和函数"]

C --> E["平均值性质"]

E --> F["极值原理"]

E --> G["实解析性"]

E --> H["刘维尔定理"]

平均值性质与调和性互为充分必要条件。连续函数只要满足平均值性质，就必然光滑而且是调和的，这一定理说明调和函数自动具有无穷可微性^[4]。进一步地，调和函数在定义域内还是实解析的，可以在每一点附近展开为幂级数^[2]。

由平均值性质可推出极值原理：不恒为常数的调和函数不能在区域内部取得最大值或最小值，极值只能出现在边界上，因此区域内一点的值由边界值唯一确定^[4]。与之相关的还有刘维尔定理，即在整个 $\mathbb{R}^n$ 上有界或单侧有界的调和函数必为常数。

二维情形下，调和函数与复分析联系紧密。全纯函数的实部与虚部都是调和函数；反过来，单连通区域上的每个调和函数都可以作为某个全纯函数的实部，与之搭配的虚部称为共轭调和函数，两者相差一个常数。若画出两者的等值线，它们在交点处互相正交。

发展历程

拉普拉斯方程得名于法国数学家和天文学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯，他在 1799 年至 1825 年出版的五卷本《天体力学》中系统引入势函数的概念，并指出天体对外部质点的引力分量可用满足该方程的势函数表示，不过欧拉在 1752 年研究流体力学时已经得到过这个方程^[5]。1813 年前后，泊松把方程推广到存在源项的情形，得到泊松方程，从而明确了拉普拉斯方程适用于源之外的自由区域。

1833 年到 1835 年间，英国数学家乔治·格林在电磁学与变密度椭球体引力位势的研究中证明，当边界值给定时物体内部存在唯一满足拉普拉斯方程且无奇点的函数，并在 1838 年的论文中引入格林函数这一求解边值问题的工具，还给出了球面函数的早期结果。

格林的工作最初影响有限，高斯在 1839 年严格证明了泊松关于作用体内部成立 $\Delta V = -4\pi\rho$ 的结果，威廉·汤姆森则在大约 1850 年把满足 $\Delta V = 0$ 的位势函数称为调和函数。狄利克雷在 1850 年发表关于第一边值问题的论文，此后以他名字命名的狄利克雷问题成为位势论中最基本的解的存在性问题^[5]。

19 世纪围绕拉普拉斯方程的研究逐渐形成位势理论，柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯等人的工作表明解析函数的实部与虚部都是调和函数且互相正交，把方程与复分析连结起来。此后调和函数研究被推广到黎曼流形上的调和形式、向量值调和函数与调和映射等方向，调和映射出现在极小曲面理论中。

应用

在没有电荷的区域里，静电势满足拉普拉斯方程，因此是调和函数；反过来，区域内的调和函数可以看成区域外部某带电体产生的电势。这一解释为平均值定理与极值原理提供了物理图像^[6]。

在热学中，介质内部没有热源时，稳态温度分布由拉普拉斯方程支配。傅里叶在《热的解析理论》中已指出这一点，于是稳定导热问题归结为求解调和函数。极值原理在这里的意义很直接：没有内部热源时，最高和最低温度必然出现在边界上^[4]。

不可压缩无旋流动中，速度势同样是调和函数：存在速度势 $\mathbf{v} = -\nabla u$，代入散度条件即得 $\Delta u = -f/\rho_0$，无源时退化为拉普拉斯方程^[7]。均匀弹性薄膜在无外力作用下的平衡位移也满足二维拉普拉斯方程^[7]。

求解给定边界值下的调和函数称为边值问题，其中边界值给定的是狄利克雷问题，法向导数给定的是诺伊曼问题，得到的调和函数在有限区域内是唯一的^[8]。球域上的狄利克雷问题可用泊松积分公式显式解出，该公式也是推导平均值公式与极值原理的重要工具^[5]。

狄利克雷原理从能量角度给出另一种刻画：在满足给定边界条件的所有函数中，使梯度平方积分取极小的那个函数就是调和函数，静电场的平衡构型相当于总能量最低^[9]。调和函数的性质还延伸到计算领域，为快速多极子等算法提供了理论基础^[10]。

局限

拉普拉斯方程只描述没有源和汇的平衡态，一旦区域内存在电荷、热源或质量源，就必须改用带源项的泊松方程，此时相应函数不再是调和函数。经典位势论所依据的线性框架，在引力场等更复杂的情形中只是受限情况下的近似，描述基本力的一般方程是非线性的。

调和函数在全定义域上不能有局部极大或极小值，这是性质决定的限制：任何带内部峰谷的分布都不可能满足 $\Delta u = 0$^[10]。刘维尔定理进一步说明，在全空间上有界或单侧有界的调和函数只能是常数，因此非平凡的调和函数必须有界域边界或奇点作为支撑。

解的存在性与唯一性都依赖区域条件。有限区域上带连续边界值的狄利克雷问题若有解必唯一，但对无界区域唯一性一般不成立^[2]。存在性同样不是自动的，需要边界满足附加条件才能保证狄利克雷问题的解存在^[5]。

实际求解析解也受几何形状限制。只有球、半球、半空间、矩形、圆环等特殊区域容易用镜像法、变量分离法或格林函数写出显式解，一般区域通常只能借助数值方法求解^[5]。

参见

• 拉普拉斯方程 —— 调和函数的定义方程，调和函数即其二阶连续可微解。

• 拉普拉斯算子 —— 定义调和函数所用的二阶微分算子，其值为零是调和性的判据。

• 共轭调和函数 —— 与给定调和函数搭配构成全纯函数的另一调和函数。

• 狄利克雷问题 —— 在区域边界上给定函数值求解调和函数的基本边值问题。

• 次调和函数 —— 把方程改为 $\Delta u \geq 0$ 后得到的相关函数类，与调和函数互为对照。

• 泊松方程 —— 带源项的非齐次拉普拉斯方程，源非零时其解不再调和。