同伦

定义

同伦描述两个连续映射之间的连续形变关系。设 X、Y 为拓扑空间，f、g 均为 X 到 Y 的连续映射，若存在连续映射 $H: X \times [0,1] \to Y$，使得对任意 $x \in X$ 都有 $H(x,0)=f(x)$ 与 $H(x,1)=g(x)$，则称 f 与 g 同伦，H 称为它们之间的一个同伦或伦移^[1]。

可以把同伦的第二个参数理解为时间：在 0 时刻得到映射 f，在 1 时刻得到映射 g，中间过程给出从 f 到 g 的连续形变^[1]。另一种等价说法是，固定 $x$ 后，$t \mapsto H(x,t)$ 是从 f(x) 到 g(x) 的一条道路。全部连续映射所成集合 C(X,Y) 上的同伦关系满足自反性、对称性与传递性，是一个等价关系，每个等价类称为一个同伦类，同伦类构成的空间常记为 [X,Y]^[2]。

与常值映射同伦的映射称为零伦映射；与单点空间具有相同伦型的空间称为可缩空间，例如欧氏空间中任意凸子集都是可缩的^[3]。若两个拓扑空间 X、Y 之间存在互为同伦逆的连续映射，即两者复合后分别同伦于各自的恒同映射，则称 X 与 Y 同伦等价，或称具有相同的伦型^[4]。同伦等价也是一种等价关系，且同胚的空间必定同伦等价，反之则不一定成立^[5]。

相对同伦是同伦概念的加细，要求在形变过程中固定某个子空间不动：若 f、g 在子集 K 上取值相同，且存在同伦 H 满足对一切 k 属于 K 与 t 属于 [0,1] 有 H(k,t)=f(k)，则称 f 与 g 相对于 K 同伦^[5]。这一要求的用途之一是定义高阶同伦群与基本群^[6]。

原理

同伦之所以成为研究拓扑空间的工具，关键在于它把几何问题转化为代数问题。在同伦变换下保持不变的性质称为同伦不变量，亏格（洞的个数）、欧拉示性数、同调群与上同调群都属于此类，而维数、紧致性则不是同伦不变量^[5]。拓扑学家常用「分不清面包圈和咖啡杯」来说明这一点：两者同伦，可以互相连续形变^[5]。

基本群的构造是这一思路的典型例子。取定空间 X 中一点 $x_0$ 为基点，以 $x_0$ 为起终点的连续映射称为闭路；在保持基点不动的相对同伦下，闭路被分成若干同伦类，这些类在道路首尾相接的乘法下构成一个群，记为 $\pi_1(X, x_0)$，称为 X 的基本群，也称第一同伦群或庞加莱群^[6]。对道路连通空间，任取两个基点得到的基本群同构，因此可以简记为 $\pi_1(X)$^[6]。

更一般地，把 n 维球面到空间的保基点映射按下述相对同伦分类，可得到 n 维同伦群，这一族群与基本群一起构成同伦论研究的基本对象^[2]。

flowchart LR

A["连续映射 f, g: X → Y"] --> B{"存在连续形变 H: X×[0,1] → Y?"}

B -- "是" --> C["f ≃ g，同伦"]

B -- "否" --> D["不同伦，代表不同的同伦类"]

C --> E["同伦类 [f] 的集合 [X, Y]"]

发展历程

同伦的直观观念出现较早，可以追溯到拉格朗日时代的变分学中形变思想的运用；而作为严格概念，同伦与伦移的定义由布劳威尔于 1911 年给出^[5]。在同伦概念形成之前，庞加莱已于 1895 年引进复形的基本群，该群后来被称为第一同伦群^[2]。

1912 年，布劳威尔引入同维流形之间映射的度，用以研究映射的同伦分类，并由此开创不动点理论^[7]。20 世纪 20 年代，德国数学家霍普夫探讨了球面同伦理论；30 年代，波兰数学家胡雷维奇建立了群的同伦理论，引进拓扑空间的 n 维同伦群^[7]。

20 世纪 40 年代，庞特里亚金给出从 n+k 维球面到 n 维球面映射的同伦分类，相关结果被称为庞特里亚金类；50 年代初，法国数学家塞尔利用纤维化的谱序列提出了计算同伦群的新方法，在球面同伦群的计算上取得突破；50 年代末，英国数学家亚当斯提出新的谱序列，成为研究同伦论的重要工具^[2]。60 年代初，广义同调论的发展使同调问题可以转化为同伦问题，代数拓扑学的这两个主要分支趋于统一^[2]。

应用

同伦分类是判别拓扑空间是否同胚的重要途径。由于同胚的空间必然同伦等价，若两个空间的某个同伦型不变量不同，它们就必然不同胚^[8]。例如取定义域为圆周，就得到映射等价类的一个离散集合，通过比较这些集合可以区分不同的空间^[6]。

同伦不变量在同调论中同样起作用。若两个映射同伦，则它们诱导的同调群同态相等，因此同调群是同伦不变量；同伦等价的拓扑空间具有同构的同调群^[6]。这也解释了代数拓扑学中许多不变量都以同伦等价为不变量加以讨论的原因^[8]。

同伦思想还见于其他数学分支。复变函数与微分形式理论中，区域内两条曲线若可连续形变为彼此则称为同伦，闭形式沿同伦曲线的积分相等，可收缩为一点的曲线其积分为零^[9]。同痕作为同伦的加细，要求形变过程始终保持嵌入性质，这一要求构成纽结理论等判别问题的基础^[5]。不动点理论中的若干结论也依赖同伦分类的结果^[7]。

局限

同伦等价弱于同胚，因此它区分空间的能力有限。两个空间可以具有相同的伦型却不同胚，例如圆周与「圆周加上一条附着的线段」具有相同伦型但不同胚；因而同伦不变量无法直接用来判别那些同伦等价但不同胚的空间，只能借助局部同调群等更精细的工具间接处理^[8]。

并非所有拓扑性质都能在同伦形变下保留。紧致性是拓扑不变量但不是同伦不变量：n 维闭球体与 n 维欧氏空间具有相同伦型，前者紧致而后者不紧致^[8]。维数同样不是同伦不变量，这在直观上会带来反直觉的结论^[5]。

在技术层面，同伦论对空间本身有要求。一般拓扑空间上的函数空间未必具有良好性质，因而代数拓扑学家通常改用紧生成空间、CW 复形或谱等条件较好的框架来讨论同伦问题^[1]。此外，许多高阶同伦群的计算十分困难，例如球面同伦群至今没有完全求出，其进展依赖于谱序列等专门工具^[2]。

参见

• 基本群 —— 以闭路的同伦类为元素构成的群，是同伦概念最早也最典型的应用。

• 同伦等价 —— 通过互为同伦逆的映射刻画两个空间具有相同伦型。

• 同调群 —— 代数拓扑的另一主要不变量，在同伦等价下保持不变。

• 同伦论 —— 专门研究连续映射同伦分类问题的代数拓扑学分支。

• 同痕 —— 同伦的加细版本，要求形变过程保持嵌入性质。