利特尔法则
定义
利特尔法则是排队论中的一条关系式，用来联系稳定系统中 3 个长期平均量。设 $L$ 表示系统中顾客的长期平均数量，$\lambda$ 表示长期有效到达率，$W$ 表示每位顾客在系统中平均停留的时间，三者的关系写作 $L = \lambda W$[3]。这里的系统既可以是整个排队系统，也可以是系统中的某个子系统，例如银行里顾客排队的队伍，或者每一位柜员本身。
法则对内部机制不作要求，不论服务的先后顺序、服务台的数目或到达是否规律，只要系统保持长期稳定并且不发生插队抢先的情况，该关系就成立[1]。正是由于这种与内部细节无关的特点，利特尔法则常被用来通过容易测量的两个量推算难以直接观测的第三个量[2]。
原理
利特尔法则的成立可以从流量守恒的角度理解。在足够长的观察时间 $t$ 内，顾客的到达率为 $A(t)/t$，系统中顾客数的平均值是 $\frac{1}{t}\int_0^t L(s)\,ds$，而所有顾客在系统中停留时间之和与这一积分近似相等；把总停留时间按到达人数求平均，就得到平均停留时间 $W$[4]。把平均顾客数写成到达率与平均停留时间的乘积，即得 $L = \lambda W$。
一种常见的直观解释来自利特尔本人提出的收费论证：假设每位顾客在系统中每停留一个单位时间就支付 1 元，则系统长期每单位时间的收入为 $L$ 元；另一方面，顾客平均支付 $W$ 元，而每单位时间平均有 $\lambda$ 位顾客到达，因此收入也可写成 $\lambda W$ 元，两者相等便得到该式[5]。对队列本身应用同一关系可得 $L_q = \lambda W_q$，其中 $L_q$ 为排队等待的平均人数，$W_q$ 为平均排队等待时间[4]。
法则的适用范围并不限于到达间隔与服务时间独立同分布的情形。相关推导表明，只要 $E[X]$、$\lambda$、$E[T]$ 中有 2 个存在且有限，第 3 个量即可由关系式确定，并且对先到先服务、后到先服务、处理器共享等不同类型的调度规则都适用[6]。
发展历程
利特尔法则的相关形式最早出现在 1954 年，当时约翰·利特尔把它当作已知结论直接使用，并未给出证明[1]。更早的时候，菲利普·莫尔斯在著作中已把 $L = \lambda W$ 这一形式发表出来，并请读者寻找不满足该关系的情形[1]。
1961 年，利特尔在《运筹学》期刊上发表论文，给出了该关系式的证明，说明不存在使关系式失效的排队情形[7][1]。此后，朱厄尔和艾隆分别给出了更简化的证明，沙勒·斯蒂德姆则于 1972 年发表了思路更直观的另一种证明[1]。
在基本关系式之外，还发展出了分布形式的推广。凯尔森与塞尔维于 1988 年证明了所谓的利特尔分布律，把系统中顾客数的分布与等待时间分布联系起来[8]。
应用
在排队与服务系统设计中，利特尔法则用于根据已知量推算未知量。若知道系统中平均排队人数和到达率，就可以算出顾客的平均等待时间，而不必逐一计时[9]。在计算机系统中，该式用于性能分析：若已知平均请求到达率和平均响应时间，可求出系统内的平均并发请求数；反之亦然[10]。
在生产与运营管理中，法则常以在制品形式使用，即周期时间等于在制品数量除以吞吐量。据此，在吞吐量短期内难以提升的情况下，限制在制品数量成为缩短交付周期的手段[11]。这一关系也是看板方法限制在制品数量的理论依据之一，被用于预测交付周期和规划产能。
法则还可用于供应链、制造业和医疗等场景，例如评估库存水平、平衡装配线、安排班次与床位[12]。对多类顾客的系统，法则可以对每一类顾客分别适用，各类的平均人数相加即得系统总平均人数[6]。
局限
利特尔法则只给出长期平均量之间的关系，不能给出顾客数或等待时间的分布[13]。它还要求系统处于长期稳定状态，且不存在顾客被创建或销毁的情况；当系统产生或消灭工作时，例如数据包因故障未被转发，停留时间就难以定义，此时该关系不再适用[6]。
推导中假定了服务能力恒定、与队列长度无关，且系统在有工作时不会空闲[6]。实际系统中，服务台可能因故障或人员疲劳而停止或降低服务速度，服务时间也可能随队列长度变化，这些情形偏离了上述假设[6]。
在限容系统中，法则需要用有效到达率而非名义到达率。若系统设有有限的服务台和等待位置，到达者可能因满员而被拒绝，此时应以被接受的到达率，即吞吐量，代入关系式[6]。此外，该关系式本身是 3 个量之间的恒等关系，不能单独说明因果，例如不能仅凭它断定增加在制品必然按比例延长周期时间[11]。
参见
参考资料
- Little's law - Passer au contenu principal [引用日期2026-10-14]
- 利特尔法则 | Bohrium [引用日期2026-10-14]
- [科普中国]-利特尔法则 [引用日期2026-10-14]
- Queueing_Theory_orig(PDF) [引用日期2026-10-14]
- Vervolgens introduceren we de volgende vijf getallen: [引用日期2026-10-14]
- Figure 2.2: On the derivation of Little theorem [引用日期2026-10-14]
- opre.9.3 [引用日期2026-10-14]
- IJSP-V7N1-All(PDF) [引用日期2026-10-14]
- 排队论入门 | Bohrium [引用日期2026-10-14]
- Queuing theory [引用日期2026-10-14]
- 项目管理术语表：利特尔法则 [引用日期2026-10-14]
- littles-law [引用日期2026-10-14]
- Remark 2.12 We will not prove any of these statements [引用日期2026-10-14]