黎曼积分

定义

设函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有界。用分点 $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$ 把区间分成有限多个小区间，在第 $i$ 个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 内任取一点 $\xi_i$，作和式 $\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})$，称为黎曼和^[4]。

记分割的最大区间长度为 $\lambda=\max_i (x_i-x_{i-1})$。若当 $\lambda\to 0$ 时黎曼和趋于某个有限数 $I$，并且该极限不依赖于区间的分法与中间点 $\xi_i$ 的选取，就称 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，$I$ 为其黎曼积分，记作 $\int_a^b f(x)\,dx$，有时也写作 $(R)\int_a^b f(x)\,dx$ 以区别于其他积分^[5]。

用 $\varepsilon$-$\delta$ 语言可表述为：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，只要分割满足 $\lambda<\delta$，不论中间点怎样取，都有 $\left|\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})-I\right|<\varepsilon$^[6]。黎曼本人给出的原始定义正是这种形式，并在同一篇论文中给出了收敛的充分必要条件^[1]。

原理

黎曼积分的基本思想是用矩形面积逼近曲边梯形的面积。非负函数的积分对应曲线、横轴与两条竖直直线所围区域的面积，把区间细分后每个小曲边梯形用一个矩形代替，矩形面积之和就是黎曼和；分割越细，和式越接近真实面积^[6]。

为判断可积性，达布引入了上和与下和：在每个小区间上取函数的上确界 $M_i$ 与下确界 $m_i$，分别作 $U=\sum M_i(x_i-x_{i-1})$ 与 $L=\sum m_i(x_i-x_{i-1})$^[7]。二者的差可写成 $\sum \omega_i (x_i-x_{i-1})$，其中 $\omega_i=M_i-m_i$ 是函数在该小区间上的振幅，称为振幅和^[6]。

有界函数黎曼可积的充分必要条件是：对任意 $\varepsilon>0$ 都存在一个分割，使相应的振幅和小于 $\varepsilon$；等价的说法是当分割的最大区间长度趋于零时上下和之差趋于零^[8]。由这一准则可以推出：闭区间上的连续函数、有界单调函数，以及只有有限多个间断点的有界函数都黎曼可积。

1907 年前后，勒贝格给出了完整的判别法：闭区间上的有界函数黎曼可积，当且仅当其不连续点构成零测集，即函数几乎处处连续^[9]。这一结论把可积性问题转化为对不连续点集的测度刻画，也说明黎曼积分可以处理不连续点稠密但“很少”的函数。

发展历程

黎曼积分的定义出自波恩哈德·黎曼 1854 年为哥廷根大学提交的教授资格论文《论函数用三角级数表示的可能性》^[2]。该论文主体讨论三角级数，其中第 4 节题为《论定积分的概念及其适用范围》，专门给出新的积分定义并讨论其有效性边界^[10]。黎曼的动因来自傅里叶系数的定义需要，他希望扩大可用积分处理函数类^[11]。

在黎曼之前，柯西已于 1823 年在《无穷小计算教程概要》中给出定积分定义，但要求被积函数连续；黎曼放宽了介点的选取并引入振幅的讨论，使定义适用于更广的函数类^[12]。这篇论文在黎曼生前未正式刊印，1867 年即他去世后 1 年才收入《黎曼著作集》出版，1873 年被译成法文，其积分定义大约到 1870 年前后才被数学界广泛了解^[13]。

此后，达布系统整理了上积分与下积分的理论，形成今天教科书中常用的达布判据；黎曼的学生汉克尔在 1870 年研究不连续函数的分类，尝试用集合性质刻画可积性^[13]。20 世纪初，勒贝格、维塔利与扬各自独立地得到零测集判别法，为测度论与勒贝格积分铺平了道路^[9]。

应用

在数学分析中，黎曼积分是定义定积分、证明牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理的基本工具，教科书里的定积分通常就指黎曼意义下的积分^[14]。傅里叶系数的计算依赖积分，黎曼的积分概念也为傅里叶级数收敛性研究提供了基础，黎曼-勒贝格定理即由此得出^[2]。

在几何与物理中，黎曼积分用于计算平面图形面积、曲线弧长、旋转体体积、变力做功、质心位置等量，这些量都可写成某个函数在区间上的积分^[15]。定义可直接推广到矩形区域上的二重积分与多重积分：把区域分割成小矩形，在每个小块上任取一点作和，取分割范数趋于零的极限即可^[16]。

数值计算中，黎曼和本身提供了近似求积的途径，把区间等分后取左端点、右端点或中点构造和式，可得到积分的近似值；这类方法在解析原函数难以求出时尤为常用^[6]。

局限

黎曼积分要求函数有界、积分区间有限，无界函数或无界区间上的积分不能用它直接定义，需要另行引入广义积分或反常积分^[17]。此外，黎曼可积性对间断点集的要求虽然宽松，但仍排斥一些简单函数。

狄利克雷函数在有理点取 1、无理点取 0，它在任何小区间上的振幅都等于 1，因而振幅和为区间长度而不趋于零，故不是黎曼可积的^[5]。这说明黎曼积分的适用范围存在实质限制。

另一处缺陷在于极限与积分交换次序。黎曼积分下，仅有一致收敛才能保证积分与极限可交换，若仅有逐点收敛，即使每个函数都可积且极限函数也可积，积分的极限也可能不等于极限的积分^[18]。1881 年沃尔泰拉还构造出导数有界却非黎曼可积的函数，牛顿-莱布尼茨公式在黎曼理论中因此可能失效^[19]。

这些不足推动了积分理论的扩展。1902 年勒贝格在其博士论文中改为对函数值域作分割，建立了勒贝格积分，并证明黎曼可积函数必勒贝格可积且两者积分值相同；勒贝格积分还具备控制收敛定理，弥补了交换极限的缺口^[19]。20 世纪 50 至 60 年代，库尔茨魏尔与亨斯托克又对定义稍作修改，得到黎曼型却更一般的积分^[19]。

参见

• 达布和 —— 用上确界与下确界构造的和式，是判别黎曼可积性的核心工具。

• 勒贝格积分 —— 20 世纪初建立的积分理论，适用范围比黎曼积分更广。

• 牛顿-莱布尼茨公式 —— 把定积分与原函数联系起来的公式，是黎曼积分计算的主要依据。

• 傅里叶级数 —— 其系数由积分给出，黎曼积分正是在研究三角级数时提出。

• 零测集 —— 用来刻画不连续点集的测度概念，构成黎曼可积的勒贝格判别法。

• 反常积分 —— 用于处理无界函数或无界区间上积分的推广形式。