麦克斯韦方程组

定义

麦克斯韦方程组是一组一阶线性偏微分方程，用来刻画电场、磁场同电荷密度、电流密度之间的联系^[1]。它通常写作4个方程：高斯定律说明电荷如何生成电场；高斯磁定律指出磁单极子并不存在；法拉第感应定律描述随时间变化的磁场如何感应出电场；麦克斯韦-安培定律则说明电流和时变电场如何产生磁场。这一方程组得名于詹姆斯·克拉克·麦克斯韦，他在19世纪60年代提出了它的早期形式^[1]。

在中文文献中，该方程组也被称作电磁场方程组的核心部分，被看作宏观电磁现象的基本规律^[3]。方程组有微分与积分两种等价写法：积分形式着眼于场源与电磁场之间的关系，微分形式则刻画场中每一点的性质^[3]。

原理

在真空或简单介质中，方程组的微分形式可写作 $\nabla \cdot \vec{E} = \rho/\varepsilon_0$、$\nabla \cdot \vec{B} = 0$、$\nabla \times \vec{E} = -\partial \vec{B}/\partial t$ 与 $\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \partial \vec{E}/\partial t$^[4]。其中 $\vec{E}$ 为电场强度，$\vec{B}$ 为磁感应强度，$\rho$ 为电荷密度，$\vec{j}$ 为电流密度，$\varepsilon_0$ 与 $\mu_0$ 分别是真空介电常数与真空磁导率^[5]。

处理有介质的情形时，人们引入电位移矢量 $\vec{D}$ 与磁场强度 $\vec{H}$，把方程改写成只含自由电荷与自由电流的形式；在最简单的情况下，$\vec{D}=\varepsilon\vec{E}$、$\vec{B}=\mu\vec{H}$^[4]。

麦克斯韦-安培定律中的 $\partial \vec{D}/\partial t$ 一项称为位移电流^[3]。由于法拉第定律给出变化的磁场产生电场，位移电流项又表明变化的电场产生磁场，两者可以相互激发，使电磁扰动在空间中自行传播^[1]。在无源区域对旋度方程再取旋度，可以得到电场与磁场各自满足的波动方程，其传播速度为 $c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$^[4]。

graph LR

A[电荷分布 ρ] --> B[高斯定律: 产生电场 E]

B --> C[时变电场]

D[电流密度 j] --> E[麦克斯韦-安培定律: 产生磁场 B]

C --> E

E --> F[时变磁场]

F --> G[法拉第感应定律: 产生电场]

G --> B

F --> H[电磁波向外传播]

发展历程

在麦克斯韦之前，电学与磁学已积累了一批经验定律，包括静电学的库仑定律、关于电流磁性的安培定律以及法拉第电磁感应定律^[3]。1820年奥斯特发现电流的磁效应，同年安培提出关于电流间作用力的定律；1831年法拉第发现电磁感应现象，为统一理论提供了实验基础^[3]。

麦克斯韦在1855年至1865年间把这些定律与数学分析结合，并提出位移电流的假设，从而把电与磁纳入统一的方程组^[3]。他于1865年发表《电磁场的动力学理论》，其最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成^[2]。1873年出版的《电磁通论》中，相关方程以可辨认的形式出现，但当时尚无矢量记号和梯度符号^[6]。

现在通用的矢量分析形式，是奥利弗·赫维赛德与约西亚·吉布斯在1884年重新表述的结果^[2]。麦克斯韦由方程组算出电磁波的传播速度，发现它与光速一致，因而推断光是电磁波；这一预言后来由赫兹的实验证实^[6]。

应用

麦克斯韦方程组与洛伦兹力方程构成经典电磁学的基础，现代电力技术与电子技术正是在这些基础方程及相关理论上发展起来的^[2]。电磁感应是许多发电机的运作原理：旋转的磁体产生时变磁场，进而感应出电场，使邻近闭合回路中出现电流^[1]。

在工程计算中，这组方程用于求解天线、微波器件、集成电路与光学元件中的场分布；其适用范围涵盖通信、医疗成像、材料检测等领域^[7]。由方程组出发还可导出坡印廷定理，用以描述电磁能量的流动与守恒^[8]。不同领域会采用不同写法，例如高能物理与引力物理常用时空表述的版本，量子力学则更常用基于电磁势的版本。

局限

麦克斯韦方程组是经典场论层面的描述，并非精确规律。自20世纪中期以来，物理学界认识到更精确的描述需要借助量子电动力学，而麦克斯韦方程组只是后者的一种经典近似^[1]。对于非经典光、双光子散射以及量子光学中许多与光子相关的现象，该方程组给出的结果与实际情况相差较大。

在数学求解上，方程组虽是一阶线性方程，但除高度对称的情形外一般没有解析解，只能借助数值方法求得近似解；电动力学的线性性质则允许利用叠加原理处理复杂问题^[2]。此外，微分形式的方程在两种介质的分界面上不适用，因为场在界面处出现不连续，需要改用积分形式导出的边界条件来处理^[8]。

参见

• 电磁波 —— 由时变电场与时变磁场相互激发而形成、可按麦克斯韦方程组描述其传播的波。

• 洛伦兹力 —— 与麦克斯韦方程组共同构成经典电磁学基础、描述电磁场对电荷作用力的方程。

• 法拉第电磁感应定律 —— 麦克斯韦方程组中描述时变磁场感应出电场的那个方程。

• 位移电流 —— 麦克斯韦为修正安培定律而引入的概念，是方程组得以自洽的关键项。

• 量子电动力学 —— 比麦克斯韦方程组更精确、涵盖量子效应的电磁理论。

• 詹姆斯·克拉克·麦克斯韦 —— 提出该方程组的英国物理学家。