积分公式
定义
积分公式指表示积分运算结果的一组等式。按积分类型划分，它包含不定积分公式与定积分公式两类：前者写成 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ 的形式，用于表示函数 $f$ 的全体原函数，其中 $C$ 为任意常数；后者给出一个确定数值，即函数在给定区间上的定积分[1][3]。
最基础的一组积分公式由基本初等函数的求导公式逆向写出，例如 $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$（$n\neq-1$）、$\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C$、$\int e^x\,dx=e^x+C$、$\int \cos x\,dx=\sin x+C$、$\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$ 等；这些等式都可以通过对右端求导加以验证[1][5]。
把这些基本公式与定积分的计算规则结合起来，就得到完整的积分公式体系：一侧是公式表，另一侧是把区间上的定积分化为端点原函数之差的牛顿-莱布尼茨公式，二者共同构成积分学的主要算法来源[6][7]。
原理
积分公式的成立依赖导数与积分之间的逆运算关系。若 $F'(x)=f(x)$，则 $F$ 称为 $f$ 的原函数，而 $f$ 的全体原函数恰为 $F(x)+C$；因此每一条基本积分公式实际上都是一条求导公式的逆写，检验方法就是求导还原[8][4]。
联系两种积分的是变上限积分函数。若 $f$ 在区间上连续，则 $\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ 可导且 $\Phi'(x)=f(x)$，这说明连续函数必有原函数，且累积量对上限的变化率就是被积函数本身[7][9]。由此对任意原函数 $F$ 有 $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$，定积分不再需要逐次求和的极限即可算出[3][6]。
积分号下的运算规则同样来自求导法则的逆用。常数可以提出积分号、和差可逐项积分，复合函数求导法则反过来给出换元积分，乘积求导法则反过来给出分部积分 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$，这些规则把待求的积分公式不断归约为公式表中已有的形式[1][10]。
flowchart LR
A["基本求导公式"] --> B["逆向写出基本积分公式"]
B --> C["换元积分、分部积分等规则"]
C --> D["待求积分化为公式表中的形式"]
D --> E["牛顿-莱布尼茨公式求定积分值"]
发展历程
面积问题的逆命题在 17 世纪已有几何表述。1670 年，英国数学家伊萨克·巴罗在《几何学讲义》中以几何方式指出，切线问题与面积问题互为逆命题，这被视为该公式的几何雏形[2]。
牛顿在 1666 年 10 月完成的《流数简论》中，从速度求位移的角度处理了面积计算，并以明显形式给出了微积分基本定理；莱布尼茨则在 1677 年的一篇手稿中陈述了同一关系，即若 $dz/dx=y$，则曲线下的面积 $\int y\,dx=z$[2][6]。
此后两人的追随者就发明权长期争论。按后世研究，两人的工作是各自独立完成的，只是发表时间与所用符号不同；英国数学界一度坚持牛顿的传统记号，与欧洲大陆的解析方法分道而行[6][7]。
19 世纪积分公式的理论被进一步整理。1830 年代，约瑟夫·刘维尔建立初等函数积分在有限形式下的理论，并证明存在初等函数其原函数无法用初等函数表示，如 $\int e^{x^2}dx$、$\int \frac{e^x}{x}dx$、$\int \frac{\sin x}{x}dx$[11]。20 世纪 60 年代后期，里斯克给出了判定初等函数是否存在初等原函数的算法，把这一判断变成可执行程序[12]。
应用
定积分公式最直接的用途是计算几何量。借助 $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$，只要找到原函数，曲线弧长、平面曲线围成的面积、曲面围成的体积都可化为端点取值之差，因此实际工程中如坝体填筑方量的计算也按此途径完成[2][3]。
在物理学中，积分公式用于处理连续变化的量。变速物体的路程由速度对时间的积分给出，变力沿直线所做的功由力对位移的积分给出；这类问题中，积分上下限与端点原函数之差正好对应位置函数在两时刻的增量[9][2]。
公式表式的积分结果被系统整理成工具书。2009 年出版的《常用积分表》收录初等函数与特殊函数的不定积分、定积分公式 2552 个，另有 203 个积分变换公式，供教学、科研与工程技术人员查阅。基本公式经换元可推广为 $\int f(ax+b)\,dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$ 一类形式，这使公式表的适用范围大为扩展[8][5]。
在数学内部，这些公式还是推导其他结论的工具。定积分的换元公式、积分第一中值定理、带积分型余项的泰勒公式，都可以由牛顿-莱布尼茨公式推出，相关结果又被用于微分方程、傅里叶变换与概率论等分支[2][13]。
局限
公式表能直接计算的函数范围有限。基本积分公式只覆盖少数基本初等函数，遇到乘积、商、复合或根式形式通常要先用换元、分部积分、部分分式等方法变形，变形不成功则无法套用现成公式[1][10]。
更根本的限制是并非所有初等函数都有初等原函数。刘维尔在 1835 年前后证明，存在初等函数的原函数不能由初等函数的有限组合表示，$\int e^{x^2}dx$、$\int \frac{dx}{\ln x}$、$\int \frac{e^x}{x}dx$ 等典型积分都属此类，它们通常以误差函数、对数积分等特殊函数另行定义[14]。
牛顿-莱布尼茨公式本身有适用条件。它要求被积函数在区间上连续并存在原函数；若区间端点属于函数的弱点或区间无界，就需改用极限形式的反常积分来表述，公式不能直接照搬[3][9]。此外，黎曼意义下的可积性也有边界，例如在有理点取 1、无理点取 0 的函数，其黎曼和随取点方式不同而不同，定积分不存在[15][4]。
对于无法求出原函数的被积函数，公式途径失效，只能借助数值积分或级数展开逐项积分求近似值，此时得到的是近似结果而非精确表达式。
参见
参考资料
- 第三章 不定积分 [引用日期2026-10-19]
- [科普中国]-牛顿-莱布尼茨公式 [引用日期2026-10-19]
- 定积分[dìng jī fēn] [引用日期2026-10-19]
- [科普中国]-积分 [引用日期2026-10-19]
- ITable [引用日期2026-10-19]
- 科普中国-牛顿-莱布尼茨公式 [引用日期2026-10-19]
- xauat.edu.cn 上的网页 [引用日期2026-10-19]
- 第四章 不定积分 [引用日期2026-10-19]
- 第一节 [引用日期2026-10-19]
- \[\int_a^b f(x) = F(b) [引用日期2026-10-19]
- 14 Impossible Integrals [引用日期2026-10-19]
- Impossible Integrals - AI Discovery Assistant [引用日期2026-10-19]
- 考研数学：必考的定理证明整理（2） [引用日期2026-10-19]
- 常用積分表 (第2版) | 台灣高等教育出版社 [引用日期2026-10-19]
- 41-托马斯大学微积分(中文版)-[美]Joel.Hass-机械工业出版社-2009_text(PDF) [引用日期2026-10-19]