勾股定理

定义

在平面上取一个直角三角形,若两条直角边的长度分别为 $a$ 和 $b$,斜边长度为 $c$,则三边满足 $a^2+b^2=c^2$。用文字表述,就是两条直角边的平方和与斜边的平方相等。^[1]

中国古代把直角三角形叫作勾股形,其中较短的直角边为勾、较长的直角边为股、斜边为弦,定理由此得名勾股定理,也有文献称其为商高定理。西方通行的名称是毕达哥拉斯定理(Pythagorean theorem),另有毕氏定理等译名。^[1][2]

该定理的逆命题同样成立:若三角形三边中两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形,第三边所对的角就是直角。这一逆命题可用于由边长判断三角形的形状。^[2]

原理

定理的核心可以从面积关系理解:以直角三角形的两条直角边为边分别作正方形,这两个正方形的面积之和,等于以斜边为边所作正方形的面积。整式表达即 $a^2+b^2=c^2$。^[3]

三国时期的数学家赵爽在注释《周髀算经》时给出了“弦图”证明。图中以勾、股之和为边作一个大正方形,内部嵌入4个全等的直角三角形,中间留出一个以股勾之差为边的小正方形。用两种方式计算大正方形的面积并令其相等,化简后即得 $a^2+b^2=c^2$。^[4]

另一种思路利用相似三角形:从直角顶点向斜边作垂线,把原三角形分成两个与原三角形相似的小三角形,由面积比例关系同样可以推出三边平方之间的关系。勾股定理也可视为余弦定理在夹角为 90° 时的特例。^[5][1]

发展历程

中国现存较早的天文数学著作《周髀算经》记载,西周开国时期周公与商高讨论测量问题时,商高提出“勾广三,股修四,径隅五”,即边长为 3、4、5 的直角三角形特例。书中另一处借陈子之口给出“勾股各自乘,并而开方除之”的一般表述。^[6][4]

除中国外,多个古代文明都接触到这一关系。巴比伦楔形文字泥板上留有整组勾股数(如 3、4、5 及其倍数)的表格,古埃及的结绳测量和古印度《绳法经》中也有相关应用,但这些文献大多只把它当作计算法则使用,没有留下明确的一般性证明。^[7]

在西方,该定理相传由古希腊的毕达哥拉斯于公元前 6 世纪发现,但他本人的证明已失传,这一归属在后世受到质疑。现存较系统的证明见于欧几里得的《几何原本》第 1 卷命题 47,其逆命题列于命题 48。^[8][9]

此后证明方法不断累积。1927 年,美国数学教师伊莱沙·卢米斯出版《毕达哥拉斯命题》,收录了 230 种证明,1940 年的第二版增加到 370 种;也有资料称目前的证明方法已达 500 种左右,是证明方法最多的数学定理之一。^[7][1]

应用

测量与工程是它的传统用途。已知两个相互垂直方向上的位移,可以由平方和求斜边的方式算出直线距离;木工、建筑和测绘作业中常用“勾三股四弦五”的比例放样直角。^[10][7]

在解析几何与计算机图形学中,平面上两点 $(x_1,y_1)$ 与 $(x_2,y_2)$ 的距离由 $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ 给出,其依据正是勾股定理;推广到三维空间后,距离公式变为三个坐标差平方和的开方。图形软件判断两点远近、计算斜向线段长度都依赖这一关系。^[11][12]

遥感与地理信息技术中,若两个点位于同一投影坐标系内,可用勾股定理推算欧氏距离;航空摄影测量处理弯曲河段时,也通过构造多个直角三角形来计算弦长和圆心位置。^[13]

局限

定理只适用于直角三角形,且必须在平面(欧氏几何)条件下使用。三角形的内角都不是直角时,三边关系要由余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 给出,勾股定理只是其中夹角为 90° 的特例。^[1][7]

在球面或双曲空间等非欧几何中,该等式不再普遍成立。球面上边长均为 $a$ 的三角形会出现 $a^2+a^2=2a^2$ 而斜边仍为 $a$ 的情形,说明三边关系已不满足勾股关系;只有在足够小的范围内,曲面上才近似符合欧氏几何。

用于距离测量时也有边界条件。以投影坐标计算的距离受地图投影和地球曲率影响,点与点相距很远或仅以经纬度表示位置时不宜直接套用;城市环境中障碍物阻隔直线路径,此时更常采用只累加两个垂直方向分量的曼哈顿距离。

参见

• 余弦定理 —— 勾股定理是它在夹角为直角时的特殊情形

• 周髀算经 —— 记载勾三股四弦五特例与一般表述的中国古代算书

• 赵爽 —— 用弦图以面积出入相补方法证明勾股定理的中国古代数学家

• 几何原本 —— 欧几里得给出勾股定理及其逆命题系统证明的著作

• 勾股数 —— 能满足三边平方关系的正整数三元组

• 欧氏几何 —— 勾股定理成立所依赖的几何体系