余弦定理

定义

在三角形 $ABC$ 中,以 $a$、$b$、$c$ 分别表示角 $A$、$B$、$C$ 所对的边,则三边与各角之间满足 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$、$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos B$、$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ 三条关系式,合称余弦定理^[1]。用文字表述,即三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和,减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍^[2]。

对上述三式作移项变形,可以解出各角的余弦值,得到 $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ 等形式,用于由三边直接计算内角^[3]。当三角形中某个角为直角时,该角的余弦值为零,相应的关系式退化为勾股定理,因此余弦定理被看作勾股定理的推广,而勾股定理是它的特例^[4]。

定理中的角与边存在固定对应:等式左边为某一边的平方,右边余弦符号内所写的角正是这一边的对角^[5]。由变形后的余弦值符号,还可以判断该角为锐角、直角还是钝角,进而推断三角形的形状^[6]。

原理

余弦定理可以借助平面直角坐标系与两点间距离公式得到。设顶点 $A$ 与坐标原点重合、边 $AB$ 落在 $x$ 轴上,则点 $B$ 的坐标为 $(c,0)$、点 $C$ 的坐标为 $(b\cos A,\ b\sin A)$,代入距离公式并整理,即得 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$^[2]。

向量的数量积是另一种常用途径：在三角形中把两边写成向量之差,再让该差向量与自身作数量积,展开后出现 $|a||b|\cos C$ 一项,便直接得到余弦定理的向量形式^[3]。

作高构造直角三角形同样可行。以一边为底作高后,把另一边的长度写成两段直角边平方和,再用勾股定理展开,消去高这一中间量即可验证结论;按角为锐角、直角、钝角分别讨论,可覆盖任意三角形情形^[1]。此外还存在利用正弦定理、面积关系乃至图形拼接的无字证明等多种思路^[7]。

graph LR

A[已知两边及其夹角] --> B[直接用余弦定理求第三边]

A --> C[再用变形公式求其余角]

D[已知三边] --> E[用 cos 变形公式求各角]

E --> F[由余弦值符号判断锐角/直角/钝角]

发展历程

余弦定理的雏形可追溯至古希腊欧几里得的《几何原本》。该书第 2 卷命题 12 与命题 13 分别就钝角三角形和锐角三角形讨论边长之间的代数关系,但只以线段和矩形面积的形式表述,尚未引入三角函数^[8]。公元 2 世纪,托勒密在《天文学大成》中利用相关几何命题处理已知三角形边角关系的问题,但未将其明确表述为一条独立定理^[9]。

中世纪时期,阿拉伯数学家对三角学作了系统整理,其中阿尔·图西在球面三角学中提出了余弦定理的球面形式^[1]。文艺复兴时期,欧洲学者从阿拉伯文献中重新接触到希腊与印度数学,德国数学家雷焦蒙塔努斯在 15 世纪推进了三角学,使定理的推广更为清晰^[7]。

把欧几里得的几何命题改写为三角函数形式的工作,通常归于 16 世纪法国数学家韦达,他在 1593 年给出了相应表述^[9]。此后随着三角函数符号的完善,余弦定理逐步取得今天的代数形式,并成为分析三角形问题的常规工具,现代研究又将其推广到非欧几何与高维空间^[10]。

应用

最基本的用途是解三角形,即由三角形的若干已知元素求出其余元素。当已知两边及其夹角时,可直接代入公式求得第三边;当已知三边时,可用变形公式算出各个内角^[3]。教材中的典型例题如已知边长为 3 与 1、夹角 $60^{\circ}$,求得第三边为 $\sqrt{7}$^[2]。

在测量场景中,若两点分别与同一观测点相连且可量出这两段的长度和夹角,则两点间距离可由余弦定理算出,建筑物两侧距离、山脚两点距离等问题都按这一思路处理^[5]。这种不必直接丈量被测距离的特点,使其在测绘、航海与天文计算中具有实用价值^[11]。

定理还用于推导其他几何结论与恒等式,例如求三角形中线长度、证明与三角形形状相关的命题,以及判断给定边角条件的三角形个数与形态^[7]。在更一般的向量空间中,同样的代数关系可推广到四边形、四面体乃至高维情形^[10]。

局限

余弦定理只适用于欧氏平面上的三角形,其形式与结论依赖于平面几何的度量结构;在球面或双曲空间等非欧空间中,需要改用相应的球面余弦定理等形式^[1]。

用于解三角形时,由三边求角的公式本身不会产生歧义,但若改与其他定理配合、按已知两边及其中一边的对角求解,可能出现两解或需另行判断的情形,须结合三角形内角和与边长关系讨论^[7]。教材在讨论“边边角”条件时也指出该条件不能唯一确定三角形^[3]。

此外,余弦定理描述的是边长与角的余弦值之间的关系,本身并不直接给出面积、外接圆半径等信息,需要与正弦定理、面积公式等配合使用才能完成完整的三角形计算^[1]。

参见

• 勾股定理 —— 余弦定理在直角情形下的特例,描述直角三角形三边平方之间的关系。

• 正弦定理 —— 同样刻画三角形边角关系的定理,常与余弦定理配合用于解三角形。

• 射影定理 —— 又称第一余弦定理,可用于正弦定理与余弦定理之间的互推。

• 解三角形 —— 由三角形已知元素求其余元素的过程,是余弦定理的主要应用场景。

• 球面三角学 —— 余弦定理在球面上的推广形式出现于这一领域。