泰勒多项式

定义

设函数 $f$ 在点 $x_0$ 处存在直到 $n$ 阶的导数，则由这些导数值构造的多项式 $T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$ 称为 $f$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 次泰勒多项式^[3][4]。展开式中 $f^{(k)}(x_0)$ 表示 $f$ 的 $k$ 阶导数在 $x_0$ 处的取值，并约定零阶导数为 $f$ 本身，$0!=1$^[2]。

上述多项式是函数泰勒展开的有限截断，也就是泰勒级数前 $n+1$ 项的部分和^[2]。泰勒公式把函数写成该多项式与一个余项之和，即 $f(x)=T_n(x)+R_n(x)$，余项 $R_n(x)=f(x)-T_n(x)$ 即为多项式逼近与实际函数值之间的偏差^[5]。若展开点取 $x_0=0$，所得特例称为麦克劳林公式^[6]。

由定义可知 $f$ 与 $T_n$ 在 $x_0$ 处的函数值以及直到 $n$ 阶的各阶导数值都相同，这种性质被称为两者在 $x_0$ 处具有 $n$ 阶接触^[5]。也正因如此，泰勒多项式是逼近 $f$ 的局部最佳 $n$ 次多项式^[4]。

原理

多项式是结构最简单的函数之一，它可以反复求导和积分而仍为多项式，因此用多项式替代复杂函数在分析上十分方便。泰勒多项式的基本思想取自局部逼近：$f(x)$ 在 $x_0$ 连续时可用常数 $f(x_0)$ 近似，一阶泰勒多项式 $f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ 就是该点处的切线近似，二阶泰勒多项式则称为二次逼近或抛物线逼近^[7][8]。

余项给出了近似的误差。带拉格朗日型余项的泰勒公式指出，在适当可微条件下存在介于 $x_0$ 与 $x$ 之间的点 $\xi$，使 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$^[9]。该式表明误差取决于被略去的第一个高阶导数项；若区间内 $|f^{(n+1)}(x)|\le M$，则可得误差上界 $|R_n(x)|\le\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}$^[10]。

在只关心局部极限行为时，常使用佩亚诺型余项 $R_n(x)=o((x-x_0)^n)$，它不给出具体误差大小，但足以判断函数在展开点附近的高阶无穷小性质^[3]。除佩亚诺余项和拉格朗日余项外，还有柯西余项与积分型余项等形式^[1]。当 $n$ 趋于无穷且余项趋于 0 时，泰勒多项式的极限即为泰勒级数，其和等于原函数^[11]。

flowchart LR

A["函数 f 在 x0 的导数"] --> B["构造 n 次泰勒多项式 Tn"]

B --> C["计算余项 Rn = f - Tn"]

C --> D{"误差是否满足要求"}

D -- "是" --> E["用 Tn 近似 f"]

D -- "否" --> F["提高阶数 n 或缩小 x 与 x0 的距离"]

F --> B

发展历程

泰勒多项式来源于泰勒公式，得名于英国数学家布鲁克·泰勒(Brook Taylor)。据记载，泰勒在 1712 年 7 月写给老师梅钦的信中首次叙述了这一公式，并在 1715 年出版的《正的和反的增量方法》中正式陈述^[1]。其前身可追溯到格雷戈里—牛顿插值公式，詹姆斯·格里高雷早在 1671 年就已发现该公式的特例形式^[12]。

泰勒公式提出后，其严格化经历了较长时间。拉格朗日在 1797 年之前最先提出了带有余项的现代形式，并强调该公式的重要性，将其视为微分学的基本定理^[1]。泰勒定理的严格证明工作由柯西在 19 世纪 20 年代完成，其间涉及佩亚诺余项和拉格朗日余项两种主要形式^[13]。

在展开点取 0 的特殊情形，由苏格兰数学家麦克劳林在 18 世纪中期大量使用，故称麦克劳林级数^[2]。此后，围绕泰勒展开的研究还扩展到赋范线性空间中的映射，形成更一般的展开形式^[13]。

应用

在近似计算方面，泰勒多项式最直接的用途是估算难以精确求值的函数。例如 $e^x$、$\sin x$ 的麦克劳林级数收敛半径为无穷大，用其部分和即可在任意实数处获得所需精度的近似值^[14]。工程中常以级数前若干项代替原函数，由此产生的截断误差可由余项公式估计^[11]。

在微积分与数学分析中，泰勒展开可用于求极限、判断函数极值、计算高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性以及证明不等式^[12]。它也是函数幂级数展开一节的基础，在理论与应用中都起重要作用^[9]。

在物理与工程中，一阶泰勒展开构成许多线性定律的基础。小角度下 $\sin\theta$ 近似为 $\theta$，使单摆的非线性方程简化为简谐振动方程；相对论动能公式在速度远小于光速时展开，首项即经典力学的牛顿动能^[15]。此外，泰勒展开还被用于构造与评估数值算法，如有限差分公式和龙格—库塔法，其精度阶数正是通过匹配泰勒展开的项数来确定^[15]。

局限

泰勒多项式的有效范围受收敛半径限制，而收敛半径由展开点到最近奇点的距离决定，奇点可能位于复平面内，因而实函数在实数轴上看不出任何异常，级数却仍可能在某点之外失效^[16]。例如 $\frac{1}{1-x}$ 的展开只在 $|x|<1$ 内收敛^[17]。

函数无限次可微也不足以保证其泰勒级数收敛到自身。函数 $f(x)=e^{-1/x^2}$（在 $x=0$ 处补充定义为 0）的各阶导数在原点均为 0，其泰勒级数为恒等于 0 的级数，与原函数并不相等，这类函数称为非解析函数^[18][19]。

在实际计算中，提高阶数并不总能改善结果。阶数很高时不仅计算量大、累积误差增大，某些区间内自变量的微小变化还会引起高阶多项式取值剧烈波动，即龙格现象，因此在大范围内采用高阶多项式逼近并不理想^[20]。多项式也不适合外推：在插值区间之外其取值会迅速变得极大，从而失去物理意义^[21]。此外，余项中的点 $\xi$ 通常难以确定，且计算 $n+1$ 阶导数需已知函数本身，这使余项在实践中的直接求值受到限制^[11]。

参见

• 泰勒公式 —— 泰勒多项式所属的公式形式，给出多项式与余项之和的完整表达。

• 泰勒级数 —— 泰勒多项式当阶数趋于无穷时的极限形式。

• 麦克劳林公式 —— 在展开点取 0 时泰勒公式的特殊情形。

• 余项 —— 描述多项式逼近与实际函数值之间偏差的量。

• 拉格朗日中值定理 —— 带拉格朗日余项的泰勒公式将其作为特例。

• 幂级数 —— 泰勒级数所属的更一般的级数类型。