杨辉三角

定义

杨辉三角指把二项式系数按行排列成等腰三角形的数表，每一行对应二项式 $(a+b)^n$ 展开后各项的系数，其中 $n$ 取 0、1、2 等非负整数^[1]。数表的两腰都是 1，从第 3 行起，中间的每个数都由它上一行相邻的两个数相加得到，依次书写即可得到任意多行^[2]。

第 $n$ 行（按行数从 1 计）共有 $n$ 个数，左起第 $m$ 个数可以写成组合数 $C(n-1,\ m-1)$，也就是从 $n-1$ 个不同元素中取出 $m-1$ 个元素的选法数目^[1]。因此，这一三角形也可看作是对组合数的一种图形化整理，把对称性、递推关系等代数性质直接显示在数阵之中^[2]。

原理

三角形的生成只依赖一条递推关系：第 $n+1$ 行第 $i$ 个数等于第 $n$ 行第 $i-1$ 个数与第 $i$ 个数之和，写成组合数形式就是 $C(n+1,\ i)=C(n,\ i)+C(n,\ i-1)$^[2]。只要规定每行两端为 1，按这条规则逐行相加，就能从顶端的 1 推出下面任意一行，数阵的其余性质也多由此导出^[3]。

flowchart TD

A["1"] --> B1["1"]

A --> B2["1"]

B1 --> C1["1"]

B1 --> C2["2"]

B2 --> C2

B2 --> C3["1"]

C1 --> D1["1"]

C2 --> D2["3"]

C2 --> D3["3"]

C3 --> D4["1"]

由递推关系可以推出若干常用结论：第 $n$ 行的数左右对称，先由 1 逐渐增大、到中部后再逐渐减小；第 $n$ 行全部数字之和为 $2^{n-1}$^[4]。此外，沿特定斜线取数相加，还能得到斐波那契数列中的项，例如把第 $2n+1$ 行第 1 个数、第 $2n+2$ 行第 3 个数等依次连成一线求和，其结果与相应的斐波那契数对应^[4]。

数表与二项式定理互为表里：$(a+b)^n$ 展开式共有 $n+1$ 项，各项系数依次等于三角形的第 $n+1$ 行，例如两数和的平方对应第 3 行的 1、2、1，两数和的立方对应第 4 行的 1、3、3、1^[2]。用二项式定理的通项公式求系数称为式算，直接查三角形取系数则被称为图算，两者结合体现了数与形的对照^[4]。

发展历程

在中国，成书于 1 世纪的《九章算术》已给出多位正整数开平方、开立方的一般程序；11 世纪中叶，北宋数学家贾宪在《释锁算书》中列出“开方作法本原图”，即直到六次幂的二项式系数表，但贾宪没有给出系数的一般公式，未建立起一般正整数次幂的二项式定理^[1]。贾宪的原书已经失传，这张数表依靠《永乐大典》和杨辉的著作保存下来^[5]。

南宋数学家杨辉在 1261 年所著的《详解九章算法》中收录了这一数表，称其为“开方作法本源”图，并注明此图出自贾宪《释锁算书》；因贾宪的著作散佚而杨辉的书流传至今，后世遂有“贾宪三角”与“杨辉三角”两种称呼^[1]。元代数学家朱世杰在 1303 年的《四元玉鉴》中再次收录此图，增加了两层，并添上两组平行斜线^[1]。

在阿拉伯地区，10 世纪的阿尔·卡拉吉已知二项式系数表的构造方法；15 世纪阿尔·卡西在《算术之钥》中给出了直到九次幂的系数表^[1]。在欧洲，德国数学家阿皮安努斯 1527 年出版的算术书封面上刻有此图；法国数学家帕斯卡于 1654 年最先建立一般正整数次幂的二项式定理，并系统研究该数表的性质，因此西方长期以“帕斯卡三角”称呼它^[1]。1665 年，英国的牛顿把二项式定理推广到有理指数情形，18 世纪欧拉等人又证明了实指数情形的相应结论^[1]。

应用

最直接的用途是展开二项式。求 $(a+b)^n$ 展开式的系数时，只需读取三角形第 $n+1$ 行，而展开式的项数、字母次数的高低次序也能由这一行同步确定^[6]。由此，求二项式系数的过程可以转化为组合数的计算，常用于组合恒等式的证明一类的推理^[7]。

在历史上，这类系数表的首要功能是配合增乘开方法求解高次方程。贾宪把求各“廉”的随乘随加程序推广到开方中，开几次方就取图中对应的行，突破了此前只能开平方、开立方的限制；这一方法经 12 世纪刘益等人发展，到南宋秦九韶著《数书九章》提出正负开方术，高次方程正根的求法趋于完备^[5]。

此外，数表中的行、列数字还与高阶等差级数求和、内插法等问题相关，成为后世数学家研究数列与级数的工具之一^[8]。在教学与实际问题中，它也被用于遗传学中分离定律相关的比例计算等场合^[7]。

局限

三角形的构造方式决定了它的规模受限于书写与计算量：要取得第 $n$ 行的系数，必须逐行累加，行数越多，需要处理的数字越多，且中间各项增长很快，手算难以承担较大指数的展开^[2]。

古代以数表配合开方运算时，一般只适用于被开方数不大或开方次数不高的情形，对复杂的高次开方，实际操作价值有限，这也是贾宪另创增乘开方法的原因之一^[5]。二项式系数的通项需要依据组合数或阶乘计算，单靠数表查数并不能给出一整套一般公式，贾宪本人也未能据此建立一般的正整数次幂定理^[1]。

参见

• 二项式定理 —— 杨辉三角所排列的系数正是该定理展开式的各项系数。

• 组合数 —— 三角形中每个位置上的数都可以写成组合数。

• 贾宪 —— 最早给出这类系数表的中国数学家。

• 杨辉 —— 其著作使这张数表得以流传。

• 帕斯卡 —— 在西方系统研究该数表并建立二项式定理的数学家。

• 斐波那契数列 —— 在三角形中沿斜线取数求和可以得到它的项。