辐角
定义
在复平面上，每一个非零复数都对应一个由原点指向点 $(x,y)$ 的向量。从实轴正方向转到这个向量所经过的角，称为该复数的辐角，记作 $\arg z$[1][2]。通常约定按逆时针方向量得的角取正值，按顺时针方向量得的角取负值[1]。
非零复数的辐角并不唯一：如果 $\theta$ 是其中一个值，那么 $\theta+2k\pi$（$k$ 为任意整数）同样满足要求，它们构成一个含有无穷多元素的集合[2][3]。为了使用方便，人们在这一集合中指定一个代表值称为辐角主值，例如限定它落在 $(-\pi,\pi]$ 之内，记作 $\operatorname{Arg} z$[2][4]。原点所对应的复数是 $0$，它没有确定的方向，因而没有辐角。
原理
把复数 $z=x+yi$ 写成 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，其中 $r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 是模，$\theta$ 就是辐角，反过来则有 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$[5][3]。这与平面极坐标的换算关系一致，辐角相当于极坐标中的极角[5]。
计算时若只取 $\arctan(y/x)$，会丢失象限信息，需要根据 $x$、$y$ 的符号对结果加上或减去 $\pi$，并在 $x=0$ 时另行处理[5][2]。许多编程语言提供的双参数反正切函数 $\operatorname{atan2}(y,x)$ 可以直接给出区间 $(-\pi,\pi]$ 内的主值；该函数于 1961 年第一次出现在 Fortran 语言中，本意就是在直角坐标与极坐标互换时给出没有歧义的角度[6][7]。
辐角把复数的乘法化为简单的几何操作：两个复数相乘时，模相乘而辐角相加，即 $\arg(zw)\equiv\arg z+\arg w\pmod{2\pi}$[8]。将一个复数乘以 $e^{i\theta}$，相当于让它绕原点旋转角度 $\theta$，这一性质是复数被用来描述旋转与振动的依据[9]。
发展历程
把复数同平面上的点对应起来的想法在 18 世纪末到 19 世纪初成形。1799 年挪威数学家韦塞尔(Casper Wessel)给出复数的几何表示，1806 年阿尔冈(Jean-Robert Argand)独立发表类似观点，1831 年高斯进一步推广，复数的几何意义从此被数学界广泛接受[10][11]。
与辐角密切相关的公式出现在同一时期。1730 年棣莫弗(Abraham de Moivre)提出棣莫弗定理，把 $(\cos\theta+i\sin\theta)$ 的整数次幂与倍角的正余弦联系起来[11][12]；1748 年欧拉(Leonhard Euler)发表欧拉公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$，使复数可以写成 $re^{i\theta}$ 的指数形式，辐角在其中直接充当指数上的相位[11][10]。
此后辐角成为复变函数论的基本工具。1855 年柯西发表的论文讨论了函数零点与极点的数目问题，后人把沿闭曲线绕行一周时函数辐角的改变量除以 $2\pi$ 等于零点数与极点数之差这一结论称为辐角原理，又称柯西辐角原理[13]。
应用
有了模和辐角，非零复数可以写成三角形式 $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ 或指数形式 $re^{i\theta}$，并与代数形式 $x+yi$ 相互转换，在讨论乘除、乘方与开方时比代数形式简便[1][12]。
交流电路分析中的相量法用一个复数代表同频率的正弦量，复数的模取作振幅或有效值，辐角取作初相，于是正弦量之间的叠加与相位关系可以借助复数运算处理[14]。电路中的阻抗与导纳同样是复数，其辐角对应电压与电流之间的相位差[9]。
在自动控制领域，辐角原理是奈奎斯特稳定判据的理论依据，用来判断单变量系统的稳定性[13]。在信号与系统分析中，复数的辐角对应信号的相位，滤波器与系统的频率响应常以幅频和相频两组曲线来描述，其中的相频曲线即由辐角给出[9]。
局限
辐角不能在整个复平面上连续地取单值：沿一条绕原点一周的路径走完一圈，辐角就会变化 $2\pi$，因此必须在平面上割开一条线，才能取出连续的单值分支[15][16]。
主值的取值范围也没有统一规定。中国中学教材长期采用 $0\le\theta<2\pi$，而 GeoGebra、Maple 等软件和部分教材采用 $-\pi<\theta\le\pi$[17]；微软数值库中复数辐角的主值同样被定义为大于 $-\pi$ 且不超过 $\pi$[7]。因此比较不同资料给出的主值时，需要先确认其所采用的区间[17]。
此外，辐角的加性一般只在模 $2\pi$ 的意义下成立：两个辐角主值之和若越出选定区间，还要再加减 $2\pi$ 才能作为乘积的主值[16][18]。辐角只在非零复数上有定义，复数 $0$ 被排除在外，这使辐角无法覆盖全部复数。
参见
参考资料
- [科普中国]-辐角 [引用日期2026-09-29]
- 一、复平面 [引用日期2026-09-29]
- complex-numbers-waldemar-dos-passos [引用日期2026-09-29]
- concepts [引用日期2026-09-29]
- Kansas State University - Textbook Contents [引用日期2026-09-29]
- concepts [引用日期2026-09-29]
- 4y5s3w62(v=vs [引用日期2026-09-29]
- trigonometric-identity [引用日期2026-09-29]
- ch2(PDF) [引用日期2026-09-29]
- 棣美弗定理與 Euler 公式 [引用日期2026-09-29]
- 複數法在中學數學中的應用 [引用日期2026-09-29]
- [科普中国]-棣莫弗定理 [引用日期2026-09-29]
- [科普中国]-辐角原理 [引用日期2026-09-29]
- [科普中国]-相量 [引用日期2026-09-29]
- 幅角原理 [引用日期2026-09-29]
- 【复变函数】0.2 复数的几何表示 [引用日期2026-09-29]
- 複數極式的主幅角對卡當公式與電腦繪圖的影響 - 2022年12月 46卷4期 [引用日期2026-09-29]
- utsa.edu 上的网页 [引用日期2026-09-29]