复利
定义
复利(compound interest)指这样一种累积计算方式：一笔资金在每个计息期内按固定的实际利率计息，所生利息在期末并入本金，作为下一计息期的计息基数[1]。与之相对的单利只以原始本金为计息基数，不对已产生的利息再计息[2]。
在中国人民银行的利息知识介绍中，复利被表述为本金要计息、本金所生的利息也要计息[2]。按其举例，100 元本金按 5% 的年利率借出两年，若按复利计算，两年后应偿还 110.25 元，其中第二年的 0.25 元利息由第一年的 5 元利息生出；按单利计算则只有 110 元[2]。
复利按计息期的不同分为年复利、半年复利、季复利、月复利等形式，计息期越短，同一名义年利率下一年内的复利次数越多[3]。当复利次数无限增加时，对应的极限情形称为连续复利[4]。
原理
设本金为 $P$，每个计息期的利率为 $i$，计息期数为 $n$，且各期利率保持不变，则复利下的本利和 $A$ 为 $A = P(1+i)^n$，利息为 $A - P$[3]。推导过程是逐期叠加：第一期末本利和为 $P(1+i)$，第二期以此为新本金再计息，得 $P(1+i)^2$，依此类推[5]。
复利的累积函数是指数函数形式 $a(t) = (1+i)^t$，这一形式也是在一定条件下满足「先投资 $s$ 期再投资 $t$ 期，与一次性投资 $s+t$ 期结果相同」这一可乘性要求的唯一函数形式[1]。正因为是指数增长，本利和随时间呈现加速上升的形态，单利则为线性增长[1]。
当一年内复利 $m$ 次、名义年利率为 $r$ 时，$n$ 年后的本利和为 $A = P(1+r/m)^{mn}$[3]。例如 1000 元按名义年利率 12%、每季复利存入 8 年，每季利率为 3%，共 32 个计息期，到期本利和约为 2575.10 元[3]。
估算本金翻倍所需时间常用「72 法则」：以年利率的百分数去除 72，所得数值即为大约所需的年数[2]。该法则属于经验近似，在利率为 6% 至 10% 的区间内准确度较高；例如年利率 12% 时估算为 6 年，而实际约为 6.12 年[3][6]。
发展历程
复利概念的形成与利息合法化、借贷活动长期化相关。北京大学数学科学学院金融数学课程讲义将复利列为利息计算的两类基本模式之一，与单利并列，并指出现代金融业务中一般以复利为默认计算方式，单利多用于短期计算或作为复利在不足一个计息期时的近似[1]。
在教材体系中，复利由逐期结息的算术运算逐步抽象为以指数函数表达的累积函数，并进一步扩展到名义利率、实际利率、贴现与连续复利等概念[1]。利息理论专著中也讨论利率未知、期限未知等情形下的复利求值问题，以及借助对数或利息表求解的方法[7]。
连续复利是复利在计息期无限缩短时的极限形态，被视为对资金随时间持续增值的一种刻画，在金融学、货币银行学、工程经济学等课程中均有介绍[4]。中国香港与澳门的中学数学与商业教育课程中，复利息连同本利和公式、72 法则一并作为理财与数列应用的教学内容[5][6]。
应用
复利是存款与贷款计息的基础形式。定期存款若按复利计息，到期利息滚入本金继续生息，存款人所得利息高于同等利率的单利[8]。贷款若按复利计息，借款人应付总额会随期限延长而显著增加[2]。
在投资与理财分析中，复利用于计算未来值、现值与贴现，即以 $PV = FV/(1+i)^n$ 把未来现金流折算为当前价值[3]。按复利计算的年化收益率与单利口径下的收益率不同，同一笔投资在多年后的平均年收益率需以复利方式衡量[9]。
在数学教育中，复利被用作等比数列的典型模型，本利和公式 $S = P(1+r)^n$ 常与单利模型对照讲解[10]。72 法则也作为估算工具进入中学与公众金融素养教材[6]。
局限
复利公式 $A = P(1+i)^n$ 的成立以各计息期利率相同且利息按期如数结转为前提，若利率随市场浮动、出现提前支取或逾期，实际结果会偏离按固定利率计算的值[1]。
计息期不满一期时的处理并无唯一答案。利息理论中，对不足一个计息期的时段可以采用单利近似，也可以采用精确方法，两种口径得到的期限或金额并不一致，实务中需先约定所用规则[7]。
72 法则只是近似工具，并不完全准确，当利率偏离 7% 附近较远时误差会扩大，因此只能用于粗略估算而非精确计算[6]。单利与复利的差异在短期内不明显，只有在期限较长、本金数额较大时才会显著拉大，因而短期小额计算中两者常可互相替代[1]。
关于连续复利的教学模型，有科普文章提出教材中长期讲授的「连续复利计算模型」与资金随时间持续生息的增值规律之间存在矛盾，认为该模型表述有误[4]。
参见
参考资料
- 第一章 利息基本计算 [引用日期2026-10-29]
- 利息的计算方法 [引用日期2026-10-29]
- 課程內容 [引用日期2026-10-29]
- 高俊科趣谈无理数e(三) 借出方借入方都是连续复利思维，双方思维与资金增值规律一致 [引用日期2026-10-29]
- 示例4： [引用日期2026-10-29]
- **1分鐘（老師先問同學們什麼是複式利率（息） [引用日期2026-10-29]
- [保险精算丛书]利息理论·[美]S.G.凯利森 著_text(PDF) [引用日期2026-10-29]
- 观点 [引用日期2026-10-29]
- 知らないと怖い金利の仕組み [引用日期2026-10-29]
- viewer(PDF) [引用日期2026-10-29]