等比数列

定义

等比数列的判定依据是相邻项之间的比值。如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的商始终等于同一个常数，该数列便称为等比数列；这个常数称为公比(common ratio)，一般记作 q^[2][3]。由于定义要求比值存在，数列的各项以及公比都不能为零；当 q=1 时，数列退化为各项相同的常数列^[1][4]。

若首项为 $a_1$、公比为 $q$，通项公式可写成 $a_n = a_1 q^{n-1}$；由首项和公比即可确定整个数列^[2]。该公式也可变形为 $a_n = \frac{a_1}{q} \cdot q^{n}$，因此当 $q>0$ 时，数列各项对应指数函数曲线上的孤立点，可借助指数函数的性质来研究^[4]。

与等差中项类似，若在数 $a$ 与 $b$ 之间插入一个数 $G$，使三者成等比数列，则 $G$ 称为 $a$ 与 $b$ 的等比中项，满足 $G^2=ab$，在 $a$、$b$ 同号时取正负两个值^[5][2]。

原理

等比数列的运算基础是相邻两项的固定比例关系，这一关系派生出若干常用性质。若 $m+n=p+q$，且下标均为正整数，则有 $a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q$；任意两项之间也存在 $a_n = a_m q^{\,n-m}$ 的关系^[6][2]。此外，若两个项数相同的等比数列对应项相乘，所得数列仍为等比数列^[3]。

前 n 项和按公比是否为 1 分两种情形。当 $q \neq 1$ 时，$S_n = \frac{a_1(1-q^{n})}{1-q} = \frac{a_1 - a_n q}{1-q}$；当 $q=1$ 时，$S_n = n a_1$^[2][6]。推导时常用“错位相减法”，即把 $S_n$ 与 $qS_n$ 两式相减，消去大部分中间项，这也是欧拉在《代数学基础》中采用的写法^[7]。

当公比的绝对值小于 1 时，随着项数无限增加，前 n 项和趋于一个确定的极限 $S=\frac{a_1}{1-q}$，相应的求和对象称为几何级数（等比级数）^[7]。若 $|q| \geq 1$，这样的极限不存在，只能讨论有限项之和^[7]。

flowchart LR

A[首项 a1 与公比 q] --> B[逐项乘以 q 得后项]

B --> C[通项 an = a1·q^(n-1)]

C --> D{公比取值}

D -->|q ≠ 1| E[Sn = a1(1-q^n)/(1-q)]

D -->|q = 1| F[Sn = n·a1]

E --> G{|q| < 1 且项数无限}

G --> H[极限 S = a1/(1-q)]

发展历程

等比关系的计算最早见于古埃及的数学文献。阿莫斯纸草书中记载了房屋、猫、老鼠、麦穗等数量分别取 7、49、343 等值的求和问题，其数据构成以 7 为公比的等比数列，说明当时已掌握这类求和的递推方法。中国古算书《孙子算经》中“出门望见九堤”一题，堤、木、枝、巢等数目以 9 为公比递增，属于同类问题。

古希腊数学家对等比数列作了较系统的处理。欧几里得在《几何原本》第八卷中以连比例的形式讨论等比数列，第九卷命题 35 则给出有限项求和的公式。约公元前 3 世纪，阿基米德在《抛物线的求积》中用穷竭法处理抛物线弓形面积，得到以 $\frac{1}{4}$ 为公比的无穷级数 $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots=\frac{4}{3}$，被视为无穷级数求和的重要早期实例^[8]。

中世纪的印度与阿拉伯数学继续推进求和问题。9 世纪，印度数学家马哈维拉在其《计算方法纲要》中给出等比数列的求和公式；11 世纪阿拉伯数学家阿尔·比鲁尼的著作讨论了著名的棋盘问题，即按格子翻倍放置麦粒所需的数目^[7]。16 世纪以后，法国数学家韦达于 1593 年给出无穷等比数列的求和式，但没有讨论和的存在性；这一问题直到 19 世纪才获得解决。

应用

在金融领域，按复利计息时各期本利和构成等比数列。若本金为 P、年利率为 r，则 n 年后的本利和为 $P(1+r)^n$，对应首项为 P、公比为 $1+r$ 的等比数列^[1]。将未来各期现金流按贴现率折算为现值，同样归结为公比小于 1 的等比数列求和^[1]。

物理与工程问题中，按固定比例衰减或增长的过程常用等比数列建模。放射性衰变、电容放电等现象中，物理量随时间按恒定比例递减，可用无穷等比数列描述；理想条件下的种群增减也常以同类模型刻画^[1]。

在计算机科学与几何问题中，等比关系同样常见。满二叉树第 $i$ 层的节点数为 $2^{i-1}$，构成首项为 1、公比为 2 的等比数列；部分分治算法的时间复杂度分析涉及等比数列求和^[1]。几何上，把线段反复按同一比例分割，所得各段长度也构成等比数列。

局限

等比数列的适用范围受公比取值限制。公比为零时，第 2 项以后各项均为零，相邻项的比值失去意义，因此不构成等比数列；首项为零的情形同样不被允许^[4]。

并非所有按比例变化的现象都严格服从等比规律。等比模型要求每一期的比值恒定，而实际的利率变动、资源约束、环境容量等因素会使比值随时间改变，此时数列只在一定阶段内近似等比^[1]。在生物种群增长中，这一模型只在理想状态下成立^[1]。

无穷等比数列的求和需要收敛条件。只有公比绝对值小于 1 时，部分和才趋于确定的极限；公比绝对值不小于 1 时，级数发散，不能赋予有限的和^[7]。早期研究者给出求和公式时并未讨论这一条件，其严格处理依赖后来建立的极限理论。

此外，等比数列与等差数列是两种不同的结构：前者着眼于相邻项的比，后者着眼于相邻项的差，两者的通项与求和公式无法互相替代，只在非零常数列这一特殊情形下重合^[4]。

参见

• 等差数列 —— 相邻两项之差为常数的数列，与等比数列并列为两类基本数列。

• 几何级数 —— 等比数列各项相加所得的级数。

• 等比中项 —— 介于两数之间、使三者成等比数列的数。

• 指数函数 —— 与等比数列通项公式形式相通，可用于分析其增减。

• 复利 —— 本金与利息逐期滚存，本利和构成等比数列。

• 几何原本 —— 其中第八、九卷讨论了等比数列及其求和。