小波函数

定义

小波函数是一个能量有限、在时域上迅速衰减且均值为零的函数,记作 ψ(t),也称母小波或基本小波。对它施加尺度伸缩和平移,可以得到一簇函数 ψ_{a,b}(t),这簇函数被称为小波基函数或小波基,小波变换就是用它们去表示或逼近待分析的信号^[1]。

从泛函角度看,若函数 ψ 属于平方可积空间,且其傅里叶变换满足容许性条件 C_ψ = ∫|ψ̂(ω)|²/|ω| dω < ∞,则称其为一个基小波或容许小波,该条件是连续小波逆变换能够成立的前提^[2]。由容许性还可推出 ψ̂(0)=0,即时域上的平均值为零,这正是这类函数被称为「小波」的原因^[3]。

一个函数的「小」体现在衰减性上,即它只在局部区间内非零,通常具有紧支集或快速衰减;它的「波」体现在正负交替的振荡形态上,积分结果为零^[3]。只有同时具备这两点,小波函数才有可能在时频平面上形成面积有限的分析窗。

原理

小波函数本身只是一个模板,实际使用的是由它生成的函数族。连续情形下写作 $\psi_{a,b}(t) = |a|^{-1/2}\,\psi\left(\frac{t-b}{a}\right)$,其中 a 为尺度因子,控制波形的伸缩,对应频率;b 为时移因子,控制波形的平移,对应时间位置^[1]。因子 |a|^{-1/2} 的作用是使不同尺度下小波基的能量保持一致^[3]。

尺度因子改变时,分析窗的形状随之改变:a 较大时窗在时间上拉宽、在频率上变窄,适合观察低频成分;a 较小时窗变窄、频率范围变宽,适合捕捉高频突变。窗口面积保持不变,因此小波分析在高频段有较好的时间分辨率、在低频段有较好的频率分辨率^[3]。

离散情形下尺度按二进方式取样,函数族变为 ψ_{j,k}(t) = 2^{-j/2} ψ(2^{-j}t - k),其中 j、k 为整数。若这族函数构成平方可积空间的标准正交基,则称 ψ 为正交小波^[4]。实际计算并不直接构造小波函数,而是依靠与之对应的低通、高通滤波器系数,通过多分辨率分析逐级分解与重构信号^[5]。

下图概括了母小波生成小波基并被用于变换的流程。

flowchart LR

A[母小波 ψ(t)] --> B[尺度伸缩 a]

A --> C[时间平移 b]

B --> D[小波基 ψ_a,b(t)]

C --> D

D --> E[与信号作内积]

E --> F[小波系数]

发展历程

伸缩与平移的思想可追溯到 1910 年哈尔提出的正交函数系,即后来的 Haar 小波,它是形式最简单的小波函数,但并不连续^[3]。1984 年,法国地球物理学家莫莱在分析地震波的局部特征时引入了小波概念,随后与格罗斯曼合作,把信号按某一确定函数的伸缩、平移系展开,「小波」一词由此进入数学变换的语境^[3]。

1986 年前后,梅耶构造出具有一定衰减性的光滑小波函数,其二进伸缩与平移系可构成平方可积空间的标准正交基,这一结果推动了小波研究的热潮^[3]。1988 年,多布希在《纯数学与应用数学通讯》上发表论文,系统给出紧支撑正交小波基的构造,形成了此后被广泛使用的 Daubechies 小波族,这一工作被认为是小波理论的关键突破^[6]。

1989 年前后,马拉与梅耶提出多分辨率分析框架,把小波基的构造与滤波器组、金字塔算法联系起来^[6]。由于除 Haar 小波外,紧支撑正交小波难以同时具备对称性,科恩、多布希与弗若随后以双正交性替代正交性,建立了双正交小波体系,兼顾对称性与完全重构^[7]。

应用

在图像压缩方面,小波函数的多分辨率特性使其便于按人眼视觉特性分配码率。基于双正交小波的编码方案成为 JPEG 2000 静止图像压缩标准的基础,支持渐进传输与感兴趣区域编码^[8]。小波变换编码同样被用于视频压缩标准之中^[9]。

在信号去噪方面,有效信号的能量在小波域集中在少数低尺度系数上,噪声则弥散于各尺度的高频细节中,据此对系数作阈值收缩再重构即可抑制噪声;常用的有模极大值法、相关性法和阈值法,其中阈值法使用最广^[9]。

在故障诊断与地球物理探测中,小波函数被用来定位输出信号的突变位置与程度,实现对大型机组的监测与诊断^[9]。此外,小波分析还用于图像的边缘检测、融合与增强,以及语音处理和医学影像分析等领域^[9]。

局限

小波函数只在刻画点状奇异时效率最高。二维图像中的边缘、轮廓是一维奇异结构,沿某个方向延展,各向同性的可分离小波难以稀疏表达这类几何特征,因此在表示含光滑曲线边缘的图像时并非最优基^[10]。针对这一不足,脊波、曲波、轮廓波、剪切波等多尺度几何分析工具相继被提出^[10]。

离散小波变换还存在几项工程上的缺陷:对输入信号的平移敏感,系数随平移发生不可预测的变化;方向选择性较差,二维情况下仅能体现少数几个空间方向;且缺少准确描述非平稳信号行为的相位信息^[11]。为缓解这些问题,对偶树复小波、投影型复小波等冗余变换被提出,以冗余度换取近似的平移不变性与更好的方向分辨能力^[11]。

此外,小波变换的时频划分格局在整段信号内固定,与短时傅里叶变换类似,本身不具备随信号内容自适应调整的能力^[12]。小波包虽然在一定程度上提高了频带划分的灵活性,但分解结构仍不随时间改变^[12]。

小波函数的选择也带来不确定性。可选的小波族数量众多,不同族在支撑长度、光滑性、消失矩和对称性上各有取舍,没有一种小波函数能在所有任务中占优,实际应用往往依赖经验或试验比较来确定^[13]。

参见

• 小波分析 —— 以小波函数为基函数的时频分析方法及其理论体系。

• 小波变换 —— 用伸缩平移后的小波函数与信号作内积,得到时频系数的运算。

• 多分辨率分析 —— 由尺度函数与小波函数共同构建的逐级逼近框架。

• 傅里叶变换 —— 小波分析常与之对比的全局频域分析方法。

• Daubechies 小波 —— 具有紧支撑和正交性的常用小波函数族。

• JPEG 2000 —— 采用双正交小波变换的静止图像压缩标准。