加速度

定义

加速度被定义为速度对时间的变化率,也就是速度的变化量与发生这一改变所用时间之比,通常记作 a^[1]。设物体在时间间隔 Δt 内速度由初值变为末值,速度变化量记为 Δv,则一段时间内的平均加速度为 $\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$;当该时间间隔趋于零时,得到瞬时加速度 $a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}$,其中 x 为位移^[2]。

国际单位制中加速度的单位为米每二次方秒,符号写作 m/s² 或 m·s⁻²,其量纲为长度的量纲乘以时间的负二次方^[1]。加速度是矢量:选定正方向后,符号的正负用于表示方向,绝对值表示大小;在直线运动中,加速度与速度同向时速率增大,反向时速率减小^[3]。需注意加速度与速度并无必然联系,速度大时加速度可以为零,速度为零时加速度也可以很大^[4]。

原理

加速度处理的是矢量对时间求导的问题。质点做曲线运动时,速度的大小和方向都可能改变,因此加速度可以按所选坐标系分解为若干分量分别计算。在直角坐标系中,加速度分解为沿三条坐标轴的分量;在极坐标系中分解为径向与横向分量;在 自然坐标系 中则沿轨道的切向与法向分解,得到切向加速度 $a_t=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$ 与法向加速度 $a_n=\frac{v^{2}}{\rho}$,其中 ρ 为轨迹的曲率半径^[2]。

切向分量反映速率变化的快慢,法向分量反映速度方向变化的快慢。在速率不变的匀速圆周运动中,切向加速度为零,加速度全部为指向圆心的向心加速度 $a_n=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}$^[2]。因此在匀速圆周运动里速率始终不变,但因加速度不为零,物体并不处于匀速运动状态^[3]。

加速度与力的关系由 牛顿第二定律 给出:物体所受合外力与加速度成正比,与质量成反比,加速度方向沿合力方向,即 $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$。该定律要求在惯性参考系中成立,并说明力是物体产生加速度的原因^[2]。在非惯性参考系中观察时,常引入惯性力等假想力,使牛顿运动定律仍可沿用^[2]。

测量上,加速度的数值可由速度随时间的变化直接计算,也可以借助速度—时间图像:图像斜率的陡缓反映加速度的大小,取图上两点即可按斜率定量求出加速度值^[5]。工程中则多用加速度传感器把运动过程中的加速度转换为电信号记录^[4]。

发展历程

加速度概念的形成与 伽利略 对落体运动的研究相关,其词条注释中即标注了这位研究者。在经典力学体系建立后,加速度被纳入牛顿运动定律,成为描述力与运动关系的中心量^[2]。

力学中的加速度条目见于《中国大百科全书》力学卷第一版,由高为炳撰写;国内一些百科与中国科学院大学本科部、中国科学院物理研究所参与编辑审核后,将其纳入科普中国·科学百科的认证范围^[3]。中学物理教材则从比较速度变化快慢入手引入该概念,不同版本教材分别以飞机起飞、汽车启动性能等情境展开,并配合速度—时间图像讲解^[6]。

应用

在交通安全领域,加速度被用来衡量碰撞的剧烈程度。一般车辆在正常行驶中难以产生极高的加速度,但碰撞过程通常只有毫秒级时间,由此产生的短时加速度可达数百个 g,国外交通管理部门曾以 500g 作为判断危及生命的参考数值^[7]。载人航天器在发射过程中也会产生较大加速度,最大可达约 8g^[7]。

在工程技术中,加速度是评价车辆动力性能的指标之一,也用于机器人运动的约束条件与地震动工程分析;相关的细分概念包括角加速度、关节加速度等^[4]。在物理学中,加速度还与电磁辐射相联系:带电粒子加速运动时会辐射电磁波,辐射强度与加速度大小相关,回旋加速器、同步辐射光源等装置即涉及这一效应^[2]。

局限

加速度的定义在经典力学中简洁,但在高速情形下其变换关系变得复杂。狭义相对论中加速度的定义形式不变,仍是位移对时间的二阶导数,但不同惯性系之间通过洛伦兹变换换算时,各分量的表达式冗长且互不相似,牛顿第二定律的简单形式也不再直接成立^[2]。

比值定义式容易被误读为决定式。$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ 反映的是运动特征,加速度本身由合力与质量决定,并不与速度变化量成正比、与时间成反比;这一区别在教学中是常见难点^[8]。

此外,加速度的大小与速度大小不存在对应关系,单凭加速度不能判断速度是增是减,还需知道二者的方向关系;加速度为零只说明速度不变,物体可能静止,也可能做匀速直线运动^[4]。对于非惯性参考系中的观测,必须另行计入惯性力等修正项,加速度的读数才与受力分析一致^[2]。

人体对加速度的承受也有物理限度。有关教学资料显示,身体与加速度方向垂直时,人可短时间承受约 15g,而身体顺着加速度方向时最多约 6g,这说明加速度在载人工程中受到生理条件的约束^[7]。

参见

• 速度 —— 位移对时间的变化率,加速度是其对时间的导数。

• 牛顿第二定律 —— 给出加速度与合外力、质量之间的定量关系。

• 重力加速度 —— 自由落体运动中物体具有的恒定加速度。

• 向心加速度 —— 圆周运动中指向圆心的法向加速度分量。

• 角加速度 —— 描述转动中角速度变化快慢的对应物理量。