加权移动平均

定义

加权移动平均(Weighted Moving Average，缩写 WMA)是移动平均的一种形式，在一个固定长度的窗口内，对每个观测值乘以不同的系数再求和，从而得到一个平滑值或预测值^[1]。它是移动平均的一个分支，与窗口中各期权重完全相同的简单移动平均并列；科普中国把移动平均法按权重的分配方式分为简单移动平均和加权移动平均两类^[2]。

权重的选择是这一方法的核心。常见的做法是让权重随时间由近及远依次减小，并且所有系数之和等于 1，这样输出值仍处在原始数据的量纲和大致水平上^[3]。系数取法并无统一定式，可以是等差递减、线性递减，也可以按经验或试验反复调整得到^[4][5]。

原理

设时间序列为 $x_1, x_2, \ldots, x_t$，窗口长度为 $n$，第 $j$ 个位置的权重为 $w_j$，则在时点 $t$ 的加权移动平均可写作 $\mathrm{WMA}_t = \sum_{j=1}^{n} w_j x_{t-n+j}$，其中权重满足 $\sum_{j=1}^{n} w_j = 1$^[6]。若各权重取等值 $1/n$，该式即退化为简单移动平均，因此加权移动平均可以看作简单移动平均的直接推广^[7]。

在数据分析软件和业务系统中，加权移动平均有一种更具体的取法：窗口长度为 $n$ 时，最近一期乘 $n$，次近一期乘 $n-1$，依此类推直到最远一期乘 1，最后用乘积之和除以权重之和^[8]。由于 $1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$，这种等差递减权重的分母是一个三角形数；以 3 期为例，权重之比为 3:2:1，对应系数约为 0.5、0.333、0.167^[9][1]。

从数学形式看，加权移动平均就是原始数据与一个固定权重函数的卷积。在信号处理的语境中，它相当于一个加权系数的有限脉冲响应低通滤波器，起到抑制高频噪声、保留低频趋势的作用^[1]。这一视角也解释了它为什么能用来平滑数据：相邻时点的观测值通常比较接近，对其加权求平均可以减少随机误差，留下较为连续的走势^[10]。

flowchart LR

A[原始时间序列 x_t] --> B[选择窗口长度 n]

B --> C[确定权重 w_1 … w_n]

C --> D[逐期滑动窗口]

D --> E[加权求和得 WMA_t]

E --> F[平滑曲线或下期预测值]

计算上，滑动窗口使相邻两次结果有大量重叠，因此可以利用递推关系更新：新的分子等于旧的分子加上 $n$ 倍的新数据、再减去窗口内旧数据之和，从而避免每次重新累加窗口内所有值^[1]。NAG 数值库的移动平均函数也把“窗口内每个位置权重等于其位置序号”单列为一种特例，并给出了对应的递推公式^[11]。

发展历程

移动平均的雏形出现在 19 世纪的观测数据处理中。气象学者布洛克萨姆(J. C. Bloxam)在 1860 年描述了用连续 10 天或 11 天均值代表中间一天的做法，并主张反复施行这一过程，使数值序列趋于平滑^[12]。这类“连续平均”后来成为移动平均的同义说法^[12]。

统计学文献对滑动平均序列的早期公开有更早的追溯，认为可上溯至 1832 年，杰文斯(Jevons)、波因廷(Poynting)与胡克(Hooker)等人在推动这一算法进入统计建模的过程中起了先导作用^[13][14]。

20 世纪中期以后，加权思想被进一步系统化。1956 年布朗(Robert Goodell Brown)在统计文献中提出指数平滑，随后霍尔特(Charles C. Holt)在 1957 年加以扩展，温特斯(Peter Winters)于 1960 年提出含季节项的三重形式^[15]。指数平滑按几何级数递减赋权，被视为加权移动平均在权重形式上的延伸，其所需存储的数据也更少^[16]。

在应用层面，加权移动平均逐步成为企业资源计划与商业智能系统的标准预测方法之一。这类系统通常把预测方法编成编号清单，加权移动平均与移动平均、线性平滑、指数平滑并列可供选择^[17]。统计计算库也普遍提供带权重的滚动窗口函数，供大规模数据流使用^[18]。

应用

短期预测是加权移动平均最直接的用途。给近期数据较大的权重后，模型对销售水平的突然变化反应更快，因此适合产品生命周期成熟、需求相对稳定的品类；相反，处于成长或淘汰阶段的产品用这一方法效果较差^[17]。管理科学文献也把它用于平滑时间序列中的不规则波动，以便更好地显示趋势与周期，并用于销售额、股价等的短期外推^[19]。

在金融数据分析中，加权移动平均被用作技术指标。以 n 日 WMA 为例，最近一日的权重为 n，其次为 n-1，逐日递减至 1，因此它比等权平均更贴近最新价格；与之类似的指数移动平均则让权重按几何级数衰减^[1]。同类的加权思路还有按成交量加权的做法，以及精算领域使用的中心化加权移动平均^[1]。

在图像与信号处理中，加权移动平均作为卷积核用于去除图像的锯齿与像素化痕迹，也就是抗锯齿处理；不同的权重函数或核函数各有自己的频域与相位特性，工程上需要根据希望保留和抑制的成分来选型^[1]。统计学软件则把加权滑动均值扩展到滚动窗口的均值与标准差计算，可处理任意长度的数据流^[11]。

宏观与商业统计中，移动平均还被用来剔除季节与循环变动，从而揭示长期趋势。移动平均的时距项数需与季节变动或周期长度大致一致，才能较有效地消除相应波动；项数取奇数时一次平均即可对准中间期，取偶数时还需再做一次相邻两项的平均，即所谓移正平均^[4]。

局限

加权移动平均的输出本质上是历史数据的加权组合，因而总是滞后于原始序列，也难以预判序列水平的转折。窗口越长，平滑效果越强，但对实际变动的敏感度越低；窗口越短则反应灵敏，预测值却可能波动过大，令生产等后续环节难以应对^[17][2]。

权重系数的确定带有主观性。经验法与试算法是最简单的选择方式，不同的人可能给出不同的权重，从而得到不同的预测结果；当序列的形态发生变化时，原有权重还必须重新调整，模型的准确性在很大程度上取决于这一选择^[3][4]。

当数据存在较强的趋势或季节性时，加权移动平均仍会出现预测偏差和系统性误差，此时需要改用能显式处理趋势与季节项的方法^[17]。此外，居中对称的移动平均无法给出序列两端的估计值，用于分析最新一期数据或据此外推时会遇到困难^[10]。

从稳健性看，移动平均对突变和异常值较为敏感，少数极端观测就能明显拉动趋势估计；在波动并不服从正态分布的情况下，它不再是恢复潜在趋势的最优选择，滑动中位数等替代方法在抗冲击方面表现更好^[1]。计算上，加权移动平均需要保留窗口内的历史数据，当预测项目较多时占用存储空间也较大^[16]。

参见

• 移动平均 —— 加权移动平均所属的更大类别的平滑与预测方法。

• 简单移动平均 —— 各期权重相等，是加权移动平均的对照形式。

• 指数平滑 —— 权重按几何级数递减的加权平均的递推形式。

• 时间序列分析 —— 加权移动平均所服务的统计分析与建模领域。

• 低通滤波器 —— 从信号处理角度描述移动平均作用的对象。

• 移动中位数 —— 在存在异常值时比移动平均更稳健的趋势估计方法。