紧致

定义

紧致描述的是 topological 空间（即拓扑空间）本身或其子集的一种性质。最通行的定义取自开覆盖：设 $X$ 是拓扑空间，若对 $X$ 的任一由开集组成的覆盖，都存在其中有限个开集仍然覆盖 $X$，则称 $X$ 为紧空间；同样地，若 $X$ 的子集 $A$ 在 $X$ 内的任一开覆盖都含有覆盖 $A$ 的有限子覆盖，则 $A$ 称为紧子集，也简称紧集。^[1][2] 单个紧致集合有时被称为紧统（compactum）。^[3]

在欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 的子集中，下列条件彼此等价：任一开覆盖有有限子覆盖；集合中任一序列都有收敛且在集合内的子序列；集合的任一无限子集在集合内有聚点；集合既闭且有界。其中最后一条最便于检验，闭区间、闭球都属此类。^[3] 需要区分的是，紧致性由集合及其拓扑决定，而闭合性依赖于所在的空间，例如在有理数空间中闭合的集合放在实数空间中未必闭合，因而未必紧致。^[3]

用语上存在地域与流派差异。布尔巴基学派把满足有限子覆盖性质的空间称为「预紧致」，而把「紧致」一词保留给既预紧致又是豪斯多夫空间的情形；法语文献中 quasi-compact 对应通常所说的紧致，compact 则指紧致且豪斯多夫，与英语用法不同。^[3]

原理

紧致性的作用机制在于把关于无限对象的论证化归为有限情形的论证。开覆盖定义中的「有限子覆盖」允许在证明中只处理有限多个开集，从而绕开无限次取交或取并可能失效的困难。典型例子是豪斯多夫空间中点与紧集的分离：若点 $x$ 不在紧集 $A$ 中，对 $A$ 中每一点可作与 $x$ 的邻域不相交的开邻域，这些邻域构成 $A$ 的开覆盖，再取有限子覆盖，即可构造一个不含 $x$ 的更大邻域把两者分开；当 $A$ 换成无限集时，同样的推理会因需要无限次取交而失效。^[3]

在度量空间中，紧致性还可以拆成两个更易把握的成分。度量空间紧致当且仅当它完备且完全有界：完备性排除「缺洞」，完全有界性指对任意 $\varepsilon>0$ 都能用有限个半径 $\varepsilon$ 的球覆盖整个空间，从而排除过于「空旷」的情形。度量空间中的覆盖紧致与序列紧致彼此等价，但进入一般拓扑空间后两者可能分离，存在满足开覆盖定义却不序列紧致的空间。^[4]

紧致性还具有一系列稳定的运算性质。豪斯多夫空间中的紧集必为闭集，紧集的闭子集仍紧致，有限多个紧集之并仍紧致；两个紧集之交未必紧致，而闭且紧的子集之任意交仍闭且紧。此外，紧集的闭包不一定紧致，但在满足一定分离公理的空间中闭包保持紧致。^[2] 从紧致空间出发的连续映射，其像也是紧致的。^[5]

发展历程

「紧致」一词由莫里斯·弗雷歇于 1906 年引入。^[3] 早期研究以度量空间为主，紧致最初指序列紧致，即任一序列都有收敛子序列，这一表述至今仍是度量空间中的常用刻画。^[3]

有限维实向量空间中的序列紧致与有界闭集的等价关系，由波尔查诺与魏尔施特拉斯的工作确立。波尔查诺在证明介值定理时附带得到相关结论，但其证明后来散佚；魏尔施特拉斯独立发现并证明了这一定理，后世称为波尔查诺-魏尔施特拉斯定理。^[6]

以开覆盖为出发点的定义后来逐渐成为主流。它把紧致性推广到一般拓扑空间，并使得度量空间中已有的许多结论可以平移过来，这种推广在研究函数空间时尤为有用，因为其中许多空间并非度量空间。海涅与博雷尔的结果则在欧几里得空间中把抽象定义与「闭且有界」这一具体判据连接起来。^[3]

应用

紧致性最直接的用途是保证极值的存在。魏尔施特拉斯极值定理指出，定义在紧集上的连续函数一定在该集合上取到最大值与最小值；证明思路是利用连续映射把紧集映为紧集，而紧集闭且有界，故其像的上下确界都在像中。 该结论的一个直观应用是把地球表面视为球面，温度作为其上的连续函数，于是地球表面必然存在最热与最冷的点。^[7]

紧致性也是分析中若干基本性质的前提。定义在紧集上的连续实值函数不仅连续，而且一致连续。^[3] 在函数空间理论中，阿尔泽拉-阿斯科利定理给出函数族中存在一致收敛子序列的条件，并被用于证明微分方程解与变分问题中极值函数的存在性；布莱希克选择定理则借助类似思想，从有界区域内的凸集序列中取出收敛子序列。^[5]

紧致性还出现在逻辑与其他数学分支中。命题逻辑与若干模糊逻辑系统都具有紧致性这种元逻辑性质，其含义是：一个理论相容当且仅当其每个有限子集相容，这一性质与拓扑紧致性共享同一思想来源。^[1]

局限

紧致性是相对于给定拓扑而言的，而不是集合的绝对属性。同一个集合换一个拓扑，紧致与否可能改变；欧几里得空间中好用的「闭且有界」判据也不能直接搬到一般拓扑空间，只能作为特例。^[3] 此外，闭合性依赖于所在空间，把集合看作不同空间的子集时，「闭」的判断会随之变化，进而影响紧致性的结论。^[3]

在无限维空间中，紧致的直观判据会失效。有界闭集在有限维赋范空间中必为紧集，但在无限维赋范空间中，单位球虽然闭且有界，却不是紧集，因此等价的结论不能照搬。^[2] 相应的，一般度量空间中「有界闭集」也不再足够，需要完备性与完全有界性同时成立，才能得到紧致。^[4]

不同紧致性概念之间的等价性同样有适用范围。序列紧致与覆盖紧致在度量空间中一致，但在一般拓扑空间中可能分道扬镳，存在覆盖紧致而非序列紧致的空间。^[4] 常用运算性质也非无条件成立：两个紧集之交未必紧致，紧集的闭包未必紧致，紧致性并不像有限性那样在所有操作下都保持。^[2]

参见

• 海涅-博雷尔定理 —— 在欧几里得空间中把紧致性与「闭且有界」联系起来的判据。

• 序列紧致 —— 用序列与收敛子序列刻画紧致性的等价形式。

• 波尔查诺-魏尔施特拉斯定理 —— 说明有限维空间中序列紧致与有界闭集等价的定理。

• 豪斯多夫空间 —— 紧集必为闭集这一性质所依赖的分离性条件。

• 极值定理 —— 以紧致性为前提、保证连续函数取到最值的定理。

• 阿尔泽拉-阿斯科利定理 —— 在函数空间中给出紧致性判据的重要结果。