年金现值

定义

年金现值指把未来若干期等额收付的款项,按一定利率逐期折现后加总得到的现在时刻价值^[3]。它成立的前提是各期金额相等、间隔相等,即现金流构成年金;若各期金额不等,则只能逐笔折现求和,不再适用年金现值的简便公式^[4]。

与之紧密相关的是年金现值系数,即利率为 i、期数为 n 时每期收付 1 元的折现价值,记作 (P/A,i,n)^[2]。按收付时点不同,年金现值分为普通年金现值、预付(先付)年金现值、递延年金现值和永续年金现值四类,其中普通年金以每期期末收付为特征,是其他类型折算的基础^[1]。

原理

年金现值的计算建立在货币时间价值之上,即同等金额的货币在不同时点价值不等,未来款项须按某一利率折算才能与当前现金比较^[5]。折算所用的利率在财务学中称折现率,通常取市场利率、资本成本或投资者要求的报酬率^[2]。

普通年金现值的推导,是把每期期末金额 A 逐期折现后相加:$P=\frac{A}{1+i}+\frac{A}{(1+i)^2}+\cdots+\frac{A}{(1+i)^n}$^[2]。这一列构成公比为 $\frac{1}{1+i}$ 的等比数列,求和化简得:$P=A\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$^[6]。其中 $\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$ 即年金现值系数,乘以年金即得现值^[2]。

以利率 10%、期数 5 年、每期 1200 元为例,系数为 $[1-(1+10\%)^{-5}]\div 10\%\approx 3.7908$,现值约为 4550 元^[7]。其他类型在此基础上有调整:预付年金因各期款项早一期发生,现值为普通年金现值再乘 $(1+i)$,也可按期数减 1、系数加 1 计算^[8]。

递延年金在最初 m 期没有收付,可先按 n 期普通年金求现值,再按复利折现 m 期,或用 $P=A\times[(P/A,i,m+n)-(P/A,i,m)]$ 计算^[4]。永续年金无到期日,令 n 趋于无穷,年金现值系数趋近 $\frac{1}{i}$,现值简化为 $P=\frac{A}{i}$^[6]。下图概括普通年金的折现结构。

graph LR

A1[第1期末 A] --> D1[除以 (1+i)]

A2[第2期末 A] --> D2[除以 (1+i)^2]

A3[第n期末 A] --> D3[除以 (1+i)^n]

D1 --> S[逐项加总]

D2 --> S

D3 --> S

S --> P[年金现值 P]

发展历程

用折现方法处理等额收支的做法出现较早,13 世纪的《计算之书》已讨论旅商等额支出折算为初始本金的问题,被视为年金现值计算的早期形态^[9]。这一时期的算法依托复利与等价关系,尚未形成统一的符号体系。

20 世纪初,费雪(Irving Fisher)在 1906 年的《资本与收入的性质》及后来的《利息理论》中提出,资产价值是未来预期收入的折现值,并主张通过比较成本与收益的现值选择净现值最大的投资机会,为现值方法进入投资决策奠定了理论基础^[10]。年金现值作为等额现金流折现的特例,随后被纳入这一框架。

20 世纪 50 年代以后,折现现金流方法在工程经济与企业财务中得到制度化应用,美国电话电报公司(AT&T)在 1952 年将其写入《工程经济》手册,战后石油、化工等行业也逐步采用^[11]。年金现值系数表随教材与考试体系的普及成为常用的查算工具^[12]。

应用

在投资决策中,年金现值用于把项目未来各期等额净收益折为现值,与初始投入比较,从而判断方案是否可行;同一思路也用于比较一次性付款与分期付款的优劣^[8]。年金现值与年金终值互为逆运算,其倒数关系分别对应年资本回收额与年偿债基金的计算^[13]。

在金融产品定价中,附息债券的利息部分可视作年金,其现值为各期利息的年金现值加上面值的复利现值^[14]。抵押贷款的年还款额、租金的年付额同样可用该公式衡量今天的等价金额,例如 30 年期、年还款 36000 元、利率 7% 的现金流现值为 446725.48 元,明显低于名义总额 1080000 元^[15]。

在负债与保险领域,年金现值用于测算分期偿还债务的当前负担、设定分期领取的养老年金水平,以及永续奖学金等基金的所需本金;若每年发放 100000 元、利率 10%,永续年金现值为 1000000 元^[4]。会计实务中,现值和年金概念亦被用于资本预算与相关项目的计价^[16]。

局限

公式成立有严格前提:各期金额与间隔必须相等,且利率在期数内保持不变;若现金流不均匀或利率随期限变化,需改用逐笔折现或分期限的折现率^[17]。以单一利率概括整条收益率曲线,在期限较长时会带来偏差^[17]。

折现结果对利率与期数高度敏感,而折现率的选择往往带有主观判断,未来现金流也需预测,预测误差会直接传导至现值^[18]。此外,计算还要求不考虑通货膨胀,或所用利率已包含通胀因素;未来收付须具有较高的发生可能性,或利率已反映信用风险,否则现值会被高估^[6]。

该方法给出的是货币量化的价值,难以纳入无法折算为现金流的因素。有文献指出,即便在折现现金流方法的早期使用者中,也承认并非所有相关因素都能转化为货币流,方法并未取代管理判断^[11]。对含有选择权或可延迟性的项目,静态的年金现值也难以反映灵活调整的价值^[19]。

参见

• 年金 —— 等额、定期系列收支,是年金现值的计算对象。

• 货币时间价值 —— 同一金额在不同时点价值不等,是折现的原理基础。

• 复利 —— 折现与终值计算共用的计息方式。

• 净现值 —— 把各期现金流折现后与初始投资相减的评价指标。

• 折现率 —— 将未来款项折算为现值所使用的利率。