平均差

定义

平均差属于差异量数（又称离散趋势量数）的一种，用于刻画样本数据偏离中心数值的程度，与全距、四分位差、方差、标准差并列^[1]。它等于各个变量值同平均数（或中位数）的离差绝对值的算术平均数，因此也被称作平均绝对离差、平均离差或平均偏差^[2]。

两者相差越大，说明数据分布越分散，中心数值的代表性越弱；相差越小，说明数据越集中^[3]。

各数据与中心数值之差称为离差。离差有正有负，直接相加会相互抵消为零，因此求平均差时须先对离差取绝对值^[4]。

原理

设一组数据为 $x_1, x_2, \dots, x_n$，以 $m$ 表示所采用的中心数值，则平均差为各离差绝对值的算术平均：$MD = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left| x_i - m \right|$^[5]。当 $m$ 取算术平均数时，所得结果即通常所说的以平均数为基准的平均差；当 $m$ 取中位数时，则得到以中位数为基准的平均差^[6]。

[

MD=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left| x_i-\bar{x} \right|}{n},\qquad MD_{Me}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left| x_i-Me \right|}{n}

]

中心数值的选择会改变结果。绝对离差之和在各点中位数处取得最小值，以中位数为基准算出的平均差，不大于以其他任何中心量数算出的平均差^[7]。这也是偏态分布资料常用中位数配合平均差描述特征的原因之一^[8]。

实际计算分两种情形：由未分组的原始数据计算时，直接对每个观测值求离差绝对值再取平均；由分组数据计算时，须先以各组频数对组中值与中心数值的离差绝对值加权，再除以总频数^[9]。

flowchart LR

A[原始数据] --> B[选定中心数值 m]

B --> C[逐个计算离差 x_i − m]

C --> D[取绝对值 |x_i − m|]

D --> E[求和并除以 n]

E --> F[平均差 MD]

发展历程

以绝对偏差衡量观测误差的思路，在 18 世纪的天文与大地测量计算中已经出现。1757 年博斯科维奇在地球形体的研究中采用最小化绝对偏差之和的拟合方法，拉普拉斯在 1799 年处理过同类问题^[10]。拉普拉斯曾以双边对称的指数分布（即后来的拉普拉斯分布）作为误差分布模型，并把绝对偏差之和作为衡量估计误差的标准^[10]。

19 世纪初，以平方代替绝对值的最小二乘法由勒让德于 1805 年发表、高斯于 1809 年在天体轨道计算中系统使用，并进一步与正态分布联系起来^[11]。平方形式便于求导和代数运算，逐渐成为误差分析与离散程度度量的主流选择，而以绝对离差为基础的平均差则退居辅助地位。

此后平均差作为描述统计的基本指标被写入各国统计学教材与统计术语汇编，并在教育统计、心理与教育测量等领域的课程中与方差、标准差并列讲授^[12]。

应用

在描述统计中，平均差用于概括数据的散布情况。相较全距和四分位差只用到部分观测值，平均差让每个数据都参与运算，对数据的变化较为灵敏^[13]。

当数据呈偏态分布时，中位数与平均差常被一同用作资料的特征数，因为以中位数为中心的平均差不受两端极端值的大幅牵动^[8]。

在预测与质量控制中，平均绝对偏差被用作误差统计量，即各期实际值与预测值之差的绝对值的平均数；数值越小，表示预测与实际的吻合程度越高^[14]。该指标还可以借助指数平滑方式逐期更新，用于跟踪预测系统的运行状态^[15]。

在评分者一致性研究中，以平均差衡量多位评分者对同一对象评分的分歧程度，数值越大表示分歧越大^[6]。

局限

平均差在计算中必须处理绝对值，难以像平方那样展开、求导与合并，不便于代数演算，这是它在理论分析中使用较少的主要原因^[1]。

在统计推断中，平均差的统计性质不及标准差优良，由样本推断总体时较少作为方差或标准差的替代估计量，因此教材与实践中的离散程度度量更常采用方差和标准差。

以算术平均数为中心计算时，绝对离差之和并非最小，改以中位数为中心更为妥当；若使用者未说明中心数值取自哪一个量数，不同来源的平均差值可能不具可比性^[4]。

此外，平均差与标准差一样以原数据的计量单位为单位，属于有单位的绝对量，比较单位不同或平均水平相差悬殊的两组数据时，需要改用变异系数等相对指标^[16]。

参见

• 差异量数 —— 平均差所属的统计量类别，用于反映数据的离散程度。

• 标准差 —— 以离差平方为基础的另一离散程度指标，与平均差互为参照。

• 方差 —— 离差平方的算术平均数，是标准差的平方。

• 中位数 —— 以中位数为基准的平均差具有最小值。

• 算术平均数 —— 平均差最常用的中心数值之一。

• 最小二乘法 —— 以平方和代替绝对离差之和的拟合与估计方法。