中位数

定义

中位数刻画的是一个数值序列的中点。把 $n$ 个观测值按由小到大（或由大到小）的顺序重新排列，记排好序的数列为 $x_{(1)} \le x_{(2)} \le \cdots \le x_{(n)}$，则当 $n$ 为奇数时，中位数就是位于正中的第 $(n+1)/2$ 项的值；当 $n$ 为偶数时，不存在唯一的正中项，习惯上取第 $n/2$ 项与第 $n/2+1$ 项这两个数的算术平均值作为中位数^[1][4]。

以 8 个数据为例，把 23、29、20、32、23、21、33、25 排序后得到 20、21、23、23、25、29、32、33，由于个数为偶数，中位数取第 4 个与第 5 个数的平均，即 24^[5]。对连续型随机变量，若其分布函数为 $F(x)$，则满足 $P(X \le m)=F(m)=1/2$ 的 $m$ 称为该分布的中位数^[6]。

理论上，一组数据中至多有一半的取值小于中位数，也至多有一半的取值大于中位数；若两者都不足一半，则说明有若干观测值恰好等于中位数^[2]。与可能出现多个取值的众数不同，一组有限数据的中位数是唯一的^[1]。

中位数属于位置平均数，与算术平均数、众数并列为描述集中趋势的常用指标^[7][8]。它主要适用于定序数据和数值型数据，不宜用于无序的分类数据，因为这类数据无法按大小排序^[1]。

原理

中位数的核心思路是把数据一分为二，寻找处于 50% 位置上的取值，因此它也可以看作第 50 百分位数、即第二四分位数 $Q_2$^[9][10]。由于计算只依赖排序后所处的位置，不涉及全部数值的加总，任何一个观测值无论放大多少倍，只要不跨过中间位置，中位数都不会改变；与之对照，算术平均数由全部数值共同决定，一个极端的观测值就可能使它大幅偏移^[3][2]。

这种对极端值不敏感的性质在统计学中称为稳健性，中位数与四分位距常被一同视作稳健统计量的代表，而均值与标准差则对偏态和离群值较为敏感^[11][12]。分布对称时两者大体相等；右偏分布中平均数大于中位数，左偏分布中平均数小于中位数，两者的差距还可以作为分布偏斜程度的一种直观指示^[12]。

当数据以频数表形式给出、原始观测值未知时，可以先按累积频数定位中位数所在的组段，再假定该组段内数值均匀分布，用线性插值求出近似值：$M = L + \frac{i_M}{f_M}(n \times 50\% - f_L)$，其中 $L$ 为中位数所在组段的下限，$i_M$ 为组距，$f_M$ 为该组频数，$f_L$ 为之前各组段的累积频数^[4]。同样的思路也可用于从累积频数曲线上估读中位数的位置^[9]。

计算流程可概括如下：

flowchart LR

A[收集 n 个观测值] --> B[按大小排序]

B --> C{n 是奇数还是偶数}

C -->|奇数| D[取第 (n+1)/2 项]

C -->|偶数| E[取第 n/2 与 n/2+1 项的平均]

D --> F[得到中位数 M]

E --> F

发展历程

中位数的思想雏形早于其名称出现。1599 年，爱德华·赖特在航海著作中讨论用指南针确定船位时提到，在众多受海浪扰动的观测数据里，处于最中间位置的读数最可能接近真实值，这被视为可能与中位数有关的早期记载^[13]。有研究认为 1599 年以前几乎不存在中位数的前身，而中位数作为一种明确的统计方法，长期让位于更受青睐的算术平均数。

18 世纪中叶以后，中位数开始进入误差处理与社会科学研究。大约在 1755 年，博斯科维奇在处理测量误差问题时用到了中位数^[5]。1874 年，费希纳借助天文学中行之有效的方法，用中位数描述心理与社会现象，理由之一是计算简便、直观清晰^[13][5]。

术语的定型通常归功于弗朗西斯·高尔顿。1883 年，他首次使用「中位数」这一名称，此前他在 1874 年的一次演讲中已描述过这样的量：位置居中的物体，比它大的对象数目等于比它小的对象数目^[13][5]。与高尔顿同时代的埃奇沃思注意到平均数对极端值过于敏感，认为中位数更为稳健，这与经济学中大量不规则数据的处理需求相关^[13]。

此后，随着统计方法被应用于越来越多分布不规则的资料，中位数对极端值的不敏感性逐渐成为采用它的主要理由，并被推广出四分位数、百分位数等一组按位置划分数据的指标^[13][14]。在当代，中位数已成为描述性统计的基础概念之一，并借助 Excel 等软件的专用函数和各类统计软件的内置函数被广泛计算^[6][2]。

应用

在经济与社会统计中，中位数常用来表示收入、财富、房价等的「中等水平」。这类分布通常右偏，少数极高值会把平均数明显拉高，而中位数基本不受影响，因此更能反映多数人的实际状况^[15][3]。平均数与中位数之间的差距，也常被用来说明分布的偏斜或收入差距的程度^[16]。

在医学与卫生统计中，中位数用于描述偏态分布的指标，如血清甘油三酯含量等，当资料呈明显偏态或两端无确定数值时，它比均数更能代表一般水平^[4]。生存时间等随访资料也常用中位数生存时间来表达「一半对象尚未发生结局」的时间点，其原理同样是把观测值按位置一分为二^[1]。

在数据探索与可视化中，中位数是 箱线图 的核心构件：箱体中间的水平线表示中位数，箱体的上下边界为第一、第三四分位数，须线之外的点被标为可疑的离群值^[3][10]。多组箱线图并列时，可以直观比较不同数据集的中位水平和离散程度^[10]。

在统计推断中，总体中位数也是被估计的目标参数之一，样本中位数随着样本量增大而趋于总体中位数，因而可以作为其估计量^[16][3]。此外，中位数还可扩展到回归等稳健统计方法中，在数据含有异常值或部分记录失真时提供较为稳定的结果^[17]。

局限

中位数只反映数据的中心位置，不包含离散程度的信息。两组数据可能中位数相同，而取值分布的疏密差别很大，仅凭中位数无法区分，通常需要与四分位距、极差等指标配合使用^[10][12]。

由于只使用位置信息，中位数没有利用全部观测值，在样本量较小时其稳定性有限，对抽样波动的反应也不同于均值；在对称分布尤其是正态分布下，平均数配合标准差往往是更充分的描述方式^[11]。

在离散型变量的单项式数列中，若次数分布明显偏态，中位数的代表性也会受到削弱^[6]。对于分类数据，由于没有大小次序，中位数无从计算，只能用众数描述其典型取值^[1]。

分组资料下的中位数还依赖「组内数值均匀分布」的假定，据此线性插值得到的只是近似值，组距较大或组内分布不均匀时偏差可能较明显^[4][9]。

参见

• 算术平均数 —— 由全部观测值加总求得的集中趋势指标，与中位数互为补充。

• 众数 —— 出现次数最多的取值，常用于描述分类数据的典型水平。

• 四分位数 —— 把排序后的数据四等分的分位点，第二四分位数即中位数。

• 箱线图 —— 以中位数与四分位数为骨架展示数据分布与离群值的图形。

• 标准差 —— 度量数据离散程度、与平均数配套使用的统计量。