状态空间模型

定义

状态空间模型是把系统在某一时刻的状况用一组称为状态变量的量表示出来，再用方程刻画这些状态如何随输入变化、以及如何生成可观测输出的一类模型^[3]。状态变量的个数取描述系统运动所需的最少一组变量，以这些变量为坐标轴构成的空间即状态空间^[3]。在经典控制理论中，传递函数只能说明输入与输出之间的外部关系，无法揭示系统内部变量的信息；状态空间描述补上了内部状态这一层^[3]。

在统计学与信号处理中，同一个名称指随机型模型：过程噪声驱动状态演化，观测噪声叠加在输出上，核心任务是由带噪观测反推隐藏状态，线性高斯情形下的标准解法是卡尔曼滤波^[4]。两类模型共用状态方程的形式，但关注的问题不同：前者侧重确定性的系统描述与控制设计，后者侧重统计推断^[4]。

原理

连续时间线性定常系统的状态空间描述由两个方程组成。状态方程刻画状态的演化，观测方程把状态映射为输出：

其中 $x$ 为状态向量，$u$ 为输入向量，$y$ 为输出向量，$A$、$B$、$C$、$D$ 为描述系统动态特性的矩阵^[5]。离散时间系统的形式与之对应，写为 $x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]$、$y[n]=Cx[n]+Du[n]$^[5]。若状态方程或观测方程改为非线性函数，则成为非线性状态空间模型，通常需要用数值或随机模拟方法求解^[1]。

统计型写法把噪声显式引入，观测方程与状态方程各带一项随机扰动，参数未知时以最大似然等方法估计^[1]。卡尔曼滤波按“预测—实测—修正”的顺序递推，用新的观测向量修正状态估计^[6]。在过程噪声与观测噪声均为高斯分布的线性系统中，该方法给出最小均方误差意义下的最优线性滤波^[7]。

flowchart LR

U[输入 u] --> S[状态方程 x' = Ax + Bu]

S --> X[状态向量 x]

X --> O[观测方程 y = Cx + Du]

O --> Y[输出 y]

Y --> K[卡尔曼滤波: 预测 与 修正]

K --> X

结构上的两个性质决定系统能否被有效操控与推断。能控性指借助适当输入可在有限时间内把系统从任一状态转移到指定状态；能观性指可由有限区间内的输出测量确定内部状态。二者都与状态变量的选取方式有关，同一个传递函数可以由内部性质不同的多个状态空间实现来表示^[7]。此外，对状态坐标作任意可逆线性变换不会改变系统的输入输出关系，因此状态空间表示一般不唯一^[4]。

发展历程

20 世纪 50 年代，空间技术提出了高速飞行体、多路控制通道等新问题，仅靠频率域方法难以应对^[8]。1958 年庞特里亚金提出极大值原理，贝尔曼在此前创立动态规划，为最优控制奠定基础^[2]。1960 年，在莫斯科举行的国际自动控制联合会第 1 届世界大会上，卡尔曼发表控制系统的一般理论，把状态空间方法系统引入控制理论^[8]。

同一时期，卡尔曼提出线性滤波与预测的新方法，随后与布西合作给出连续时间形式^[9]。他在这项工作中提出能控性与能观性两个概念，成为控制理论最基本的概念之一^[2]。到 60 年代初，以状态空间法、极大值原理、动态规划与卡尔曼-布什滤波为基础的一套分析与设计方法确立，标志着现代控制理论形成^[2]。1963 年，扎德与德索尔合著的线性系统理论教材采用状态空间途径，推动了术语与方法的统一^[7]。

在统计学一侧，结构时间序列模型把趋势、季节等成分视为随机演化，也被纳入状态空间框架^[10]。ARIMA 等模型可改写为状态空间形式，从而借用其估计、缺失值处理与预测工具^[1]。2020 年前后，深度学习领域借鉴这一框架提出了 HiPPO、S4 等序列模型，把线性时不变状态空间用作长序列建模的骨干^[11]。

应用

在自动控制中，状态空间是时域分析与设计的基本工具，适用于线性定常、线性时变、非线性与离散系统^[3]。基于状态反馈可以改变闭环系统的动态特性，而状态不可直接测量时，则用观测器或卡尔曼滤波由输出重建状态^[12]。这类估计器还被用于故障检测与诊断中的状态监测^[13]。

在工程实践中，机电对象的物理方程线性化后可化为状态空间形式，也可由系统辨识或由传递函数转换得到^[5]。航天导航是早期代表性应用，卡尔曼滤波经过在观测点线性化等改进后被用于飞行器轨道计算^[14]。

在计量经济与金融领域，状态空间模型用于处理未观测变量，如事前实际利率、持久收入等，并配合卡尔曼滤波与最大似然估计分析国内生产总值、原油价格、黄金价格等序列^[15]。宏观研究中也有把资本与劳动的产出弹性设为时变隐变量、以可变参数状态空间模型进行测算的做法^[6]。

在机器学习中，S4 把线性时不变状态空间与 HiPPO 初始化结合，训练时可借助卷积并行计算，推理时可作为递推运行^[11]。Mamba 在此基础上引入随输入变化的选择性机制，以次二次方的计算代价处理长序列^[16]。相对于自注意力的二次复杂度，这类模型的计算量随序列长度近似线性增长^[16]。

局限

经典状态空间方法以模型系数准确已知为前提，多变量系统中系数不准确可能导致闭环不稳定，而系数往往要依靠系统辨识反复调整，现场调试成本较高^[17]。系统一旦进入不稳定或异常状态，人工判断应调整哪个矩阵的哪个系数并不容易^[17]。

对统计型模型，线性高斯情形有解析的递推解，但观测方程非高斯或关系非线性时，往往要借助 MCMC、序贯重要抽样等随机模拟手段，计算负担明显增加^[1]。状态变量的选取不唯一，某些实现中的状态分量未必具有趋势、季节这类可直接解释的含义^[10]。

在深度学习应用中，Mamba 一类模型对超出预训练长度的上下文表现明显下降，研究者把原因归于状态转移矩阵参数化在长度外推时的分布外行为^[16]。也有分析指出这类模型在长程依赖基准上不及 S4 等早期结构，存在表达力、归纳偏置与训练稳定性方面的不足^[18]。在视觉等需要同时捕捉局部与全局特征的任务上，其表现仍逊于基于注意力的模型^[19]。

参见

• 卡尔曼滤波 —— 在线性高斯系统中由带噪观测递推估计状态的标准算法。

• 现代控制理论 —— 以状态空间法为基础建立的控制理论体系。

• 传递函数 —— 描述输入输出外部关系的经典模型，与状态空间描述互为补充。

• ARIMA模型 —— 可改写为状态空间形式的时间序列模型。

• S4 —— 把线性时不变状态空间用于长序列建模的深度学习结构。

• Mamba —— 引入输入依赖选择机制的序列状态空间架构。