百分数

定义

百分数是把两个数量的比值用分母为100的分数来表示的数,也称作百分比或百分率^[2]。统计部门的解释更简明:它是以100作为分母的分数,写作「百分之多少」^[1]。例如40/100记作40%,读作百分之四十^[2]。

书写上,百分数一般不采取普通分数的形式,而是在分子后面附加百分号「%」来表示,这个符号称为百分号^[3]。按小学数学教材的表述,它是表示一个数是另一个数的百分之几的数,又叫百分率或百分比^[3]。正因如此,百分数刻画的总是数与数之间的比例关系,而不是某个带单位的量。

百分数与百分点是两个需要区分的概念。百分点描述的是不同时期以百分数表示的相对指标的变动幅度,百分之一为一个百分点^[4]。举例如下:某构成比重由21.8%降至18.2%,应表述为下降3.6个百分点,而不能说下降3.6%^[4]。

原理

百分数本质上是一个以100为分母的分数,因此它与小数、分数之间可以直接互换。其换算关系为:$p\% = \frac{p}{100} = 0.01p$。例如45%等于45/100,也等于0.45^[5]。反过来,要把一个比值写成百分数,只需将比值乘以100并附上百分号。

求某个量占另一个量的百分比时,先用前者除以后者得到比值,再乘以100。例如50个苹果相对于1250个苹果的比例为50/1250=0.04,乘以100即得4%^[5]。两个百分数相乘时,则应先各自化为小数再相乘,如40%的50%等于0.40×0.50=0.20,即20%^[5]。

百分数便于比较,原因在于它把不同的总量统一折算到100这一基准上,因此都以1%为单位,比较时不必再考虑各自的基数差异^[3]。需要注意,百分数的使用有方向性:「比过去增长20%」指原来为100、现在为120;「降低到原来的20%」则指原来为100、现在为20;若表述为「比去年增长百分之几」,其数值应扣除原有基数^[4]。

百分数的取值并不限于0至100之间。数学上对百分数的范围没有限制,它可以大于100%,也可以为负数,这在描述变化幅度和进行比较时十分常见^[5]。不过,不同指标的实际取值范围受其含义约束:产品合格率、种子发芽率等最多只能达到100%,粮食出粉率一类只能小于100%,而产量计划完成情况等则可以超过100%^[4]。

发展历程

以100为基准进行计算的做法可以追溯到古罗马。当时十进制尚未出现,许多计算借助1/100的倍数来完成,例如奥古斯都对拍卖成交货物征收的centesima rerum venalium,税率即为1/100^[5]。这种以百为分母的分数运算,在方法上已与今天的百分数计算相通。

中世纪货币单位日趋细分,以100为分母的计算变得更为常用。15世纪末至16世纪初,算术著作中普遍收录此类运算,并将其应用于盈亏、利率和三分律等问题;到17世纪,以百分之一为单位标示利率已成为通行做法^[5]。与此同时,商业贸易的扩张对计算精度提出更高要求,分母为100的分数因而被更频繁地采用^[6]。

「percent」一词源自拉丁文per centum,意为「按百计算」^[7]。英语中这一用法见于16世纪60年代的per cent,直到20世纪初仍常被当作缩写处理并加缩写点^[7]。表示比例的percentage一词则出现于1789年^[7]。

百分号「%」的形成晚于概念本身。它由意大利语per cento逐步缩写而来:「per」常缩作「p.」并最终消失,「cento」则缩写成由横线分隔的两个圆圈,演变为今天的「%」^[5]。另有资料记载,意大利在1481年出现了关于百分号的最早记录,15世纪的手稿中以「20p100」一类形式表示20%,大约在1650年带小圆圈的标志演变为水平书写的形式^[6]。

应用

百分数最基本的作用是表示比例与构成,因此在统计调查和对比分析中使用极为频繁^[3]。国家统计部门在公布经济数据时,常用百分数描述增长速度与结构占比,例如第一产业在国内生产总值中所占比重由1992年的21.8%降至1993年的18.2%^[4]。

在商业与金融活动中,百分数用于标示利率、折扣、佣金、保险费率、盈亏和税额等^[8]。工农业生产、科学技术与各类实验同样广泛使用百分数来表述比例关系^[3]。此外,道路与铁路的坡度也以百分数表示,其算法为竖直升高与水平距离之比再乘以100^[5]。

混合物组成常用质量百分数和摩尔百分数来表述^[5]。与百分数相关的还有千分数「‰」、基点等表达方式,其中1个基点相当于万分之一,金融市场常用基点描述利率的细微变动^[5]。百分数也是小学高年级数学的教学内容,学生在此阶段学习其意义、读写方法以及与分数、小数的互化^[3]。

局限

百分数只给出相对大小,不携带绝对数量信息。同一个百分比在不同基数下对应的实际数量可能相差很远,因此单独引用百分数而不说明基数,容易引起误读^[5]。使用百分数时须指明它相对于什么总体,即何者被视为100%^[5]。

连续发生的百分比变化不能简单相加。某量先增长10%再下降10%,两次变化所依据的基数不同,结果并不回到原值,而是净减少1%^[5]。这类叠加效应须按复利方式逐次计算,不能把变化率直接累加。

百分数也容易被与百分点混淆。两个百分数相减得到的是百分点而非百分数,把比重由21.8%降至18.2%说成下降3.6%,在表述上是不正确的^[4]。此外,百分数不适合直接表示带具体单位的量。有教学研究指出,百分数主要承担表示分率的功能,在形式规定上也与普通分数不同,例如「1.5%」是规范写法,而「1.5/100」则不合规范^[9]。

在体育统计等场合,「percentage」一词有时被用来指代以小数形式给出的比例,与实际百分比存在出入,阅读时需留意其具体所指^[5]。

参见

• 百分点 —— 两个百分数之差所对应的变动幅度单位。

• 分数 —— 百分数在数的形式上所属的一类数。

• 小数 —— 与百分数可以相互换算的表示形式。

• 比例 —— 百分数所表达的两个量之间的倍数关系。

• 千分数 —— 以1000为分母的同类表示法,符号为「‰」。

• 基点 —— 金融市场中表示万分之一变动的单位。