平方

定义

平方指一个数与它自身相乘所得的乘积。台湾《数学名词释义》对此的表述是:一个数 $a$ 自乘一次,即称为 $a$ 的平方,并记作 $a^2$;该定义同样适用于多项式,多项式 $p(x)$ 自乘一次可写作 $[p(x)]^2$^[3]。

从幂运算的角度看,平方就是指数为 2 的乘方,因此也叫二次方或二次幂^[1]。运算所得的结果称为平方数,例如 $4 \times 4 = 16$,16 就是 4 的平方^[2]。在书面和计算机输入中,常用上标形式 $x^2$ 表示,键盘输入不便时以 x^2 一类的写法代替^[4]。

《现代汉语词典》为「平方」列出两个义项:一是指数为 2 的乘方;二是指平方米这一面积单位^[2]。

原理

按幂的定义,$a^2 = a \times a$。由此可以推出平方的若干基本性质。其一,平方在自然数、整数、实数和复数集合内都是封闭的,即任一自然数的平方仍为自然数,其余各类同理^[5]。其二,积和商的平方等于各因子的平方之积或之商,即 $(xy)^2 = x^2 y^2$,$(x/y)^2 = x^2/y^2$^[5]。

平方对相反数不敏感:$(-x)^2 = x^2$,所以作为函数,它是偶函数;并且实数的平方总为非负数,即 $x^2 \geq 0$,只有 $x = 0$ 时平方才为 0^[5]。这一点是平方与开平方不对称的关键:平方把正负两个数映到同一个结果,因此由平方值反推原数时会得到两个平方根^[5]。

两数之和的平方可展开为三项:$ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$,这一式子称为完全平方公式,是因式分解与代数变形的常用工具;两数之差的平方形式类似,仅中间项取负号^[6]。

前 $n$ 个正整数平方之和有闭式公式:$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,可用数学归纳法证明^[1]。

发展历程

平方的几何源头在于正方形的面积。日本《数学事典》系维基条目指出,自乘之所以被称为平方,正源于这一几何含义:把一个数看成一条边的长度,它的自乘便是以该长度为边长的正方形面积^[5]。

在记法上,历史上并没有为平方单独设立符号,通常借用乘法的写法或幂的写法,例如把 $x$ 的平方写成 $xx$ 或 $x^2$^[5]。中文语境中,「平方」一词同时承载了幂运算与面积单位两层含义,并由《现代汉语词典》等辞书作出规范^[2]。

应用

在几何中,正方形面积等于边长的平方。教材通常借助边长与面积的对照表,引导学习者理解完全平方数:若一个正整数能写成某个正整数的平方,如 $1 = 1^2$、$4 = 2^2$、$9 = 3^2$、$100 = 10^2$,该数即为完全平方数^[7]。

在代数中,平方和完全平方公式被用于展开、配方与因式分解。例如把两项式的和或差平方展开,可直接得到三项式的标准形式,这是多项式变形的常规步骤^[6]。

平方运算也用于数论与数列求和。前 $n$ 项正整数平方和公式可用于快速计算离散平方累加,而不必逐项相加^[1]。

在复平面上,对复数取平方时,模长变为原来的平方,辐角加倍,即 $|z^2| = |z|^2$、$\arg z^2 = 2\arg z$;这一性质常被用来描述二次映射下角度的翻倍关系^[5]。

局限

平方运算在实数范围内不可逆。由于相反数的平方相同,已知 $x^2$ 的值反推 $x$ 会得到两个可能结果,例如平方为 3 的数有 $\pm 1.7320\ldots$ 两个^[2]。因此开平方必须额外规定取非负的那个根,即算术平方根,才能得到唯一答案^[2]。

实数的平方结果受限于非负性:在实数范围内不存在平方为负数的数。只有在引入虚数后,平方才能取到负值——虚数的平方为负数,非虚复数取平方后仍是复数^[1]。

此外,平方不能作为单位换算的替代。虽然在日常口语中「平方」可指平方米,但它本身是运算名称,面积单位仍须写明具体单位如平方米、平方千米,二者不可混用^[2]。

参见

• 平方根 —— 平方的逆运算,求一个数使其平方等于给定值。

• 完全平方公式 —— 两项式平方的展开公式,广泛用于因式分解。

• 完全平方数 —— 可以写成某个整数平方的数。

• 幂运算 —— 平方是指数为 2 的幂运算的特殊情形。

• 正方形 —— 其面积等于边长的平方,是平方一词的几何来源。