偏差

定义

偏差指一个值减去其参考值所得的差值，是计量领域用于描述作业活动结果偏离期望程度的量。这一表述见于中国的国家计量技术规范《通用计量术语及定义》早期版本，该规范将偏差与误差并列为不同术语^[1][2]。公式可写作 $\text{偏差}=\text{一个值}-\text{参考值}$^[1]。

定义中的「一个值」通常指作业活动结果的实际值，需经测量、校准、检定或检验取得；「参考值」则是期望或要求的特定值，可以为标称值、设计值、设定值或技术规范规定的标准值^[1]。偏差恒带符号，结果为正表示实际值大于参考值，为负表示小于参考值^[1]。

在机械制造语境中，尺寸偏差被定义为实际尺寸与公称尺寸的代差；由最大极限尺寸、最小极限尺寸分别与公称尺寸求差，即得上偏差与下偏差，两者合称极限偏差^[3]。在化学分析等实验科学中，偏差则指单次测定值与多次测定平均值之差，用于表示结果的精密度^[4]。

原理

偏差的计算依赖于参考值的选取。以实物量具为例，其参考值即标称值，故偏差等于实际值减标称值；若某标称值 1 kg 的砝码实际质量为 1.002 kg，则其偏差为 +0.002 kg，而按标称值使用时的示值误差为 −0.002 kg^[5]。由此可得三者关系：误差与偏差等值反号，偏差与修正值相等^[6]。

在多次平行测定的数据处理中，先求算术平均值 $\bar{x}$，再算各测得值与平均值之差。该差值称为残差或剩余误差 $v_i=x_i-\bar{x}$，代数和在测量次数足够多时趋近于零^[7]。以残差代替未知的随机误差，可由贝塞尔公式估计单次测量的标准偏差：$\sigma\approx\sqrt{\sum_{i=1}^{n}v_i^2/(n-1)}$^[7]。

由单次测量的标准偏差还可推出算术平均值的标准偏差 $\sigma_{\bar{x}}=\sigma/\sqrt{n}$，并据此以 $\pm3\sigma_{\bar{x}}$ 作为极限误差给出测量结果，相应置信概率约为 99.73%^[7]。这一处理流程构成测量列数据处理的常规步骤：算平均值、算残差、判断变值系统误差、算标准偏差、剔除粗大误差、再算平均值标准偏差与极限误差^[7]。

flowchart LR

A[测得的实际值] --> C[偏差 = 一个值 - 参考值]

B[参考值：标称值/设计值/平均值] --> C

C --> D[带正负号的差值]

D --> E[评价加工作业质量]

D --> F[衡量测定结果精密度]

发展历程

偏差这一术语最早用于机械制造业，指零件加工所得实际尺寸与其设计或使用所要求的参考尺寸之差，用来反映制造加工的准确程度^[1]。此后其含义从机械加工扩展到其他作业活动，凡涉及制造、加工、设计、设定、测量的场合都可使用这一概念^[1]。

中国的国家计量技术规范《通用计量术语及定义》1998 年版设有偏差条目，将其定义为「一个值减去参考值」；2011 年修订版中该条目被删除，偏差一词的使用在计量领域被弱化，但在实物量具等场合仍被广泛沿用^[2][8]。同一规范 2011 年版把测量误差改定义为测得的量值减去参考量值，这被视为删除偏差定义的原因之一^[8]。

测量误差的概念在两种情况下适用：存在单个参考量值且其不确定度可忽略时误差已知；以唯一真值表征被测量时误差未知^[9]。误差按重复测量中是否规律变化分为系统误差与随机误差两个分量，测量误差是两者的代数和^[9]。

应用

在机械制造与产品检验中，偏差用于控制零件尺寸的加工质量。公差带由代表上、下偏差的两条直线确定，用以限制尺寸变动量；极限偏差影响配合的松紧，公差则影响配合精度与加工难易^[3][5]。定量包装商品的净含量检验也采用同样口径，标称净含量 500 g 而实测 495 g 时，包装偏差为 −5 g^[1]。

在分析化学与计量测试中，偏差用于表达精密度。相对平均偏差越小，说明多次测定结果彼此越接近，精密度越高^[4]。标准偏差则用于表征测量仪器的重复性与复现性，也被用于测量不确定度的 A 类评定^[10][11]。

在大地测量中，垂线偏差指同一测站点上铅垂线与椭球面法线之间的夹角，可用子午圈分量与卯酉圈分量表示，用于计算高程异常、大地水准面差距以及归算天文大地测量观测数据^[12]。该量还用于空间技术与精密工程测量，按所选椭球不同分为绝对垂线偏差与相对垂线偏差^[12]。

局限

偏差所参照的参考值未必等于真值，因此以偏差代替误差只在特定前提下成立。真值通常未知，实际处理时只能在尽量减小系统误差的条件下，把多次平行测定的平均值当作真值，才能把偏差作为误差使用^[4]。当被测量的真值不唯一时，测量误差概念不适用，测得值与真值的关系需改用测量不确定度表达^[9]。

偏差无法反映随机波动的全部信息。随机误差不可消除，只能通过增加测量次数使平均值逼近真值；而系统误差在同一条件下多次测量时符号与大小保持不变，不具备抵偿性，重复测量并不能削弱其影响^[13]。系统误差理论上可通过校正等手段减小，实际只能消除到一定程度^[14]。

偏差与公差不可混用。偏差是代数值，可正、可负或为零；公差是不带符号的绝对值，且不能为零^[3]。对单个零件只能测出实际偏差，只有对数量足够多的一批零件才能确定尺寸误差^[3]。

参见

• 测量误差 —— 测得量值与参考量值之差，与偏差等值反号。

• 修正值 —— 补偿系统误差所用的量，数值上与偏差相等。

• 标准偏差 —— 表征一组测得值分散程度的参数，由贝塞尔公式估计。

• 系统误差 —— 重复测量中保持不变或按可预见方式变化的误差分量。

• 测量不确定度 —— 表征赋予被测量量值分散性的非负参数。

• 垂线偏差 —— 铅垂线与椭球面法线之间的夹角，大地测量中的专门偏差量。