欧拉图

定义

欧拉图指用圆或其他封闭曲线表示类(集合)外延的图解方法。图中的每个圆对应一个非空且非全的类,圆内画出的小点表示该类所含的元素,圆与圆之间的位置关系则对应两个类在外延上的关系。^[1] 由于以圆形区域代替语言描述,抽象的集合包含与交叉关系可以在一张图上直接看出。

在两个概念的情况下,圆圈的组合可区分 5 种关系:两圆完全重合对应全同关系,一圆完全位于另一圆之内对应真包含于或真包含关系,两圆部分重叠对应交叉关系,两圆彼此分离对应全异关系。^[2] 这 5 种图形构成了传统逻辑教科书中讨论概念外延关系的基本框架。^[3]

原理

欧拉图的基本约定是:圆表示非空非全的类,圆内部的点表示属于该类的元素,圆与圆的包含、相离与相交对应类的包含、相异与相交。据此,全称肯定命题「所有 S 是 P」画成一个圆包含另一个圆,全称否定命题「没有 S 是 P」画成两个互不相交的圆,特称肯定命题「有的 S 是 P」与特称否定命题「有的 S 不是 P」则画成两个相交的圆,区别在于前者在交叉区域写上代表主词的字母,后者让交叉区域保持空白,以表示该交集为空。^[1]

用集合运算的语言,设两圆围成的区域分别为集合 $A$、$B$,则两圆重叠部分是交集 $A \cap B$,两圆覆盖的全部区域是并集 $A \cup B$,圆外的矩形区域可视为论域。欧拉在说明三段论时会把每种可能情形逐一画成不同的图,而不是把多种情形叠加在同一张图上,因此同一组前提有时需要列出若干张图才能穷尽。^[4]

graph LR

A["圆 A(类 S)"] --> B["圆 B(类 P)"]

A -.-> C["相离:全异关系"]

A -.-> D["包含:属种关系"]

A -.-> E["部分重叠:交叉关系"]

发展历程

用封闭图形表示逻辑关系的思想早于欧拉出现。据记载,1712 年德国学者克里斯蒂安·魏泽已在逻辑学著作中作过类似尝试;至少在中世纪也有人用圆圈表示古典三段论。^[5] 1761 年,瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler,1707—1783)引入后来被称为「欧拉圈」的图形来表达三段论推理,其做法是把莱布尼茨关于图解逻辑关系的方案通俗化,并特别关注一般陈述句在外延或类上的解释。^[1]

欧拉的相关说明集中出现在他 1760 年代写给一位德国公主的书信中,后来的文献据此把这套图示称为欧拉图。^[5] 18 世纪,法国数学家格岗尼(Joseph-Diaz Gergonne,1771—1859)用集合符号更系统地解释了直言命题中两个项的关系,并给出两个类之间 5 种联结方式及其编码。^[6]

1880 年,剑桥的逻辑学家约翰·维恩(John Venn)发表论文提出改造方案,次年又在《符号逻辑》中系统阐述:合格的集合图示应呈现所有可能的逻辑组合,即使某种组合对应空集也要为它留出区域。由此形成的文氏图建立在欧拉图基础之上,并成为逻辑图走向形式化的转折点之一。^[5] 此后皮尔士对文氏图作了进一步扩展,20 世纪 90 年代以来,学界又在欧拉图基础上发展出蜘蛛图等带有存在点标记的图形系统。^[7]

应用

在传统逻辑教学中,欧拉图被用来演示直言命题的 4 种形式与三段论推理。例如「没有 B 是 C;所有 A 是 B;所以没有 A 是 C」这类推理,可以直接用圆圈的分离与包含关系表示出来,使推理结构一目了然。^[4]

在集合论与概率论入门中,圆形区域被用来表示集合之间的交、并、补以及事件的排斥与重叠,并可用于验证集合恒等式和包含关系式。^[8] 由于图示直观,它也被用于逻辑判断题的解题:分析「所有 S 都是 P」「有的 S 是 P」等命题时,先画出满足题意的圆与圆的位置组合,再据图判断哪些结论必然成立。^[9]

在图形绘制工具中,欧拉图被作为独立的图表类型提供,用于呈现一组集合及其相互关系;集合以圆表示,关系通过圆是否重叠来体现,常见于集合归属、分类层级等数据的可视化。^[10]

局限

欧拉图只描绘实际成立的关系,不涵盖一切可能的组合。维恩指出,诸如「所有 A 或是 B 或仅是 C」这样的命题无法用欧拉图的圆直接表达,若拆成多张图分别绘制,每张图都只含有部分信息,彼此还可能显得矛盾。^[4]

在特称命题上,欧拉图存在歧义。表示「有的 S 不是 P」的图形与表示「有的 P 不是 S」的图形难以区分,而与全称命题相矛盾的命题也可能采用同一幅图,这给换质位等直接推理的表达带来困难。^[1] 此外,早期的欧拉图不能直接表示空类和全类,也不便表示补运算;这一不足后来由文氏图通过引入表示论域的矩形框和对空区域的阴影标记得到弥补。^[2]

欧拉图难以承担复杂推理。把多个图合并成一张图以检验结论并不总是可行,图上也没有标明如何从一张图转换到另一张图,因此在处理多前提、多词项的推理时,通常需要改用文氏图等表达能力更强的图示系统。^[1]

参见

• 文氏图 —— 在欧拉图基础上要求呈现全部逻辑组合的集合图示法。

• 集合 —— 欧拉图所刻画的对象及其相互关系。

• 三段论 —— 欧拉图最初用于说明的推理形式。

• 莱昂哈德·欧拉 —— 欧拉图的提出者。

• 约翰·维恩 —— 改造欧拉图、建立文氏图的逻辑学家。