线性代数

定义

线性代数以向量空间（也称线性空间）和线性映射为主要研究对象，同时涵盖线性方程组、矩阵、行列式、特征值与特征向量、双线性型和二次型等内容^[1]。向量空间是定义在某个域（例如实数域或复数域）上的集合，其中的元素称为向量，集合上配备加法与数乘两种运算，并满足结合律、交换律以及零元、逆元等一组公理^[2]。

所谓线性映射，指两个向量空间之间保持加法与数乘结构的映射，即满足 $T(u+v)=T(u)+T(v)$ 与 $T(cu)=cT(u)$^[3]。当两个空间都取定基之后，一个线性映射就可以用一个矩阵完整表示，矩阵的加法与乘法也分别对应映射的加法与复合，因此对线性变换的研究可以转化为对矩阵的研究^[4]。矩阵可逆当且仅当它所代表的线性映射是同构，也等价于其行列式不为零^[2]。

线性组合、张成、线性无关以及基和维数是线性代数中的基本概念：一组向量线性无关且能张成整个空间时构成该空间的一个基，有限维空间中任意两个基所含向量个数相同，这个数目就是空间的维数^[5]。线性映射的像空间、核空间，连同矩阵的列空间与行空间，被合称为与矩阵相关的四个基本子空间，它们的结构决定了线性方程组有唯一解、无解还是有无穷多解^[3]。

影响与争议

线性代数的方法后来被推广到数学的其他分支。把标量所在的域换成一般的环，就得到模论；不过并非所有模都有基，许多有限维线性代数中的定理在模上不再直接成立^[1]。多线性代数研究对每个变量分别线性的映射，由此产生张量概念；泛函分析则把向量空间理论推广到无限维情形，处理函数空间上的线性算子及其谱^[2]。

20 世纪以来，线性代数成为科学与工程中的通用数学语言。矩阵运算被用于海森堡表述量子力学的形式体系；计算机的发展使高斯消元与各类矩阵分解的高效算法成为研究重点，线性代数因此成为数值模拟与数学建模的基础工具^[2]。在计算机图形学中，旋转、缩放与投影等变换以矩阵乘法实现；在机器学习与数据科学中，矩阵分解与特征分解支撑着神经网络训练、主成分分析和推荐系统等方法^[3]。

在教学层面，线性代数现已是高等院校理工科各专业普遍开设的基础课程，其内容通常包括行列式、向量组的线性关系、矩阵、线性方程组与二次型等^[6]。不同教材对内容主线有不同处理，或以矩阵为中心，或以线性方程组为中心，也有以线性空间与线性变换为核心展开的体系^[7]。有限维与无限维情形的差别也受到强调：无限维向量空间通常不能简单视为有限矩阵的推广，需要额外处理定义域、拓扑与收敛性等问题^[1]。

参见

• 向量空间 —— 线性代数的主要研究对象，是配备加法与数乘并满足一组公理的集合。

• 矩阵 —— 表示线性映射的具体工具，也是线性代数计算的主要对象。

• 行列式 —— 由方阵决定的数值，用于判定矩阵可逆性与求解线性方程组。

• 特征值 —— 刻画线性变换沿特定方向缩放比例的标量。

• 奇异值分解 —— 将任意矩阵分解为正交矩阵与对角矩阵之积的方法。

• 抽象代数 —— 放宽向量空间公理后形成的代数分支，与线性代数关系密切。