数学

定义

通常的表述是：数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科，并常被归入形式科学^[1][4]。它通过抽象化与逻辑推理发展起来，研究者由选定的公理和定义出发，推出新的定理，并把概念整理成有内在联系的公理系统^[1][2]。

作为学科的界定，中国国务院学位委员会的文件指出，数学以形式化、严密化的逻辑推理方式，研究客观世界中的数量关系、空间形式及其运动变化，以及更一般的关系、结构、系统与模式等逻辑上可能的形态^[3]。其基本方法包括演绎推理与归纳推理，前者由一般性质导出特定对象的性质，后者由若干个别对象的性质概括出一般性质^[3]。

对数学的确切定义，学界至今并无完全一致的看法。从19世纪起，数学研究涉及群论、射影几何等与数量和量度没有明确关系的主题，此后逻辑主义、直觉主义、形式主义等流派各自给出不同的界定，彼此未能取得普遍接受的结果^[2]。也有数学家认为数学难以定义，只把它看作数学家所从事的活动^[2]。

背景

数学的早期原理多服务于实际需要，包括税务与贸易中的计算、数字间关系的了解、土地的测量以及天文事件的预测，这些需要大致对应数量、结构、空间与变化四个方面的研究^[1]。国务院学位委员会的学科介绍同样把数学的起源追溯到远古时期生产、获取、分配、交易等活动中产生的计数、观测与丈量需求，并指出它很早就成为天文、航海与力学研究的工具^[3]。

在数学成为独立学科之前，相关知识多以观察和经验的形式散见于古埃及、美索不达米亚和古印度的文本中，代数学与几何学长期各自独立发展^[2]。到16世纪，算术、初等代数与三角学等初等数学大体完备；17世纪变量概念出现后，人们才开始系统研究变化中的量之间的关系以及图形之间的变换^[1]。

内容

按照研究对象，数学常被划分为若干主干分支。数论关注整数与有理数的性质，如整除性、素数分布与同余关系；代数学通过公理刻画运算与结构，研究群、环、域、模、线性空间等对象^[2][5]。几何学研究空间形式，从欧氏几何扩展到非欧几何、微分几何、代数几何与拓扑学；以微积分为基础的分析数学则以极限、微分和积分研究变化^[6]。

结构是数学各分支共同关注的对象。数、函数与几何图形等对象都带有由运算或关系确定的内在结构，数论考察整数在算术运算下的表示，抽象代数则把满足同一组公理的结构放在一起比较，由此得到群、环、域等一般理论^[2]。历史上长期悬而未决的尺规作图问题，最终借助涉及域论与群论的伽罗瓦理论得到解答，说明抽象的结构研究可以回落到具体问题^[2]。

空间方面的研究同样不断扩展。三角学把空间与数量结合起来，勾股定理与三角函数是其基本内容；现代研究进一步推广到高维几何、非欧几何、拓扑学与图论^[2]。数与空间在解析几何、微分几何和代数几何中紧密交织，例如代数几何以多项式方程的解集为几何对象，把代数方法与空间直观合并起来^[2]。

为给各分支建立可靠基础，数理逻辑与集合论发展起来。康托尔创立集合论并引入无穷集合的势，使无限集合之间的大小可以比较；20世纪以来，集合论成为分析理论、测度论和拓扑学等领域的常用工具^[2]。数学逻辑则致力于把数学置于坚实的公理架构之上，并研究这一架构本身的成果，哥德尔第二不完备定理是其中影响最大的结论之一^[2]。

20世纪三十年代，法国的布尔巴基学派提出以结构统一纯数学的设想，认为数学是研究抽象结构的理论，而结构是由初始概念和公理出发的演绎系统^[2]。该学派把基本结构分为代数结构、序结构和拓扑结构三类，分别对应群、环、域等对象，偏序与全序等顺序关系，以及邻域、极限、连通性、维数等概念^[2]。

影响与争议

数学的应用范围随着其他学科的发展而不断扩大。17世纪以后，物理学、力学与工业技术的进步同数学的迅速发展相互推动；到19世纪，分析、几何、数论与代数等分支已经形成，概率也成为研究对象^[3]。第二次世界大战期间，数学在飞行、火炮控制、物资调运、密码破译和军事运筹等方面得到集中使用，并催生了一批应用数学学科^[3]。

电子计算机的出现进一步改变了数学的面貌。国务院学位委员会的学科介绍指出，计算机的发明本身即体现了数学成果的贡献，而计算机的设计、制造与使用又向数学提出大量问题，计算机与软件技术已成为数学研究的新手段，正在改变传统的研究模式^[3]。数学与外部的交叉还形成了计算机科学、系统科学、模糊数学、金融数学、生物数学等一批新学科^[3]。

数学知识的总量增长很快。据美国数学会通报2006年1月刊所载米哈伊尔·B·塞甫留克的说法，存放于数学评论资料库中的论文与书籍自1940年创刊以来已超过190万份，每年还新增7.5万份以上，其中绝大部分是新的定理及其证明^[1]。与此同时，数学内部呈现高度分化又不断交叉融合的趋势，抽象概念与结构理论越来越多地成为科学技术领域的通用语言^[3]。

参见

• 数论 —— 研究整数性质的分支，是数学最古老的研究领域之一。

• 代数学 —— 以公理刻画运算与结构的分支，涵盖群、环、域等内容。

• 几何学 —— 研究空间形式的数学分支。

• 微积分 —— 以极限、微分与积分研究变化的基础学科。

• 集合论 —— 康托尔创立的数学基础理论。

• 布尔巴基学派 —— 20世纪提出以结构统一纯数学的法国数学家群体。