静水应力

定义

静水应力所描述的是这样一类应力状态：过一点所作的任何截面上，正应力都取同一数值，而剪应力处处为零，因此三个主应力 σ1、σ2、σ3 彼此相等^[3]。

用三个主应力写出表达式时，静水应力分量 σm 等于它们的算术平均值，即 $\sigma_m=\frac{1}{3}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)$；若改用压力 p 表示，则 p＝－σm，负号出自流体力学把压应力记作正值的习惯^[5]。在主应力空间中，与三个坐标轴夹角都相等的方向称为静水应力轴，垂直于该轴的平面则称为偏平面或 π 平面。

不同学科对这一状态的叫法并不统一：固体力学中多称静水应力、球应力或平均应力，工程与地学文献中还使用围压、岩石静压力、静岩压力等名称；英文为 hydrostatic stress，德文译名为 hydrostatische Spannung^[1][4]。

原理

一点的受力状况可以用应力张量完整刻画，而这个张量能够唯一地拆成两项之和：一项是单位张量与某个标量的乘积，另一项由原张量减去前一项得到^[2]。写成张量形式即 $\sigma_{ij}=\sigma_m\delta_{ij}+s_{ij}$，其中 $\sigma_m=\frac{1}{3}\sigma_{kk}$ 就是静水应力，s 称为偏应力^[6]。

这种拆分之所以重要，是因为两部分的作用截然不同：静水部分让单元体在各个方向均匀地胀大或缩小，偏应力部分则使单元体的棱边夹角发生变化，也就是产生畸变^[2]。又因为在与单位张量成比例的这部分应力中，任意方向都可以当作主方向，任何截面上都不存在剪应力，所以它不会带来形状变化和塑性变形，只能带来体积变化。

对各向同性的弹性体，在均匀压缩条件下静水应力 σm 与体积应变 εv 成正比，二者的比值就是体积模量 K，即 K＝σm/εv^[7]。用工程弹性常数表示可写成 K＝E/[3(1－2ν)]，相应的体积应变为 ΔV/V＝3(1－2ν)σm/E，其中 E 为弹性模量、ν 为泊松比^[5]。

graph TD

A[一点的应力张量] --> B[球张量：静水应力]

A --> C[偏张量：偏应力]

B --> D[体积胀缩]

C --> E[形状畸变]

发展历程

20 世纪初，瑞士地质学家海姆(A. Heim)在大型越岭隧道的施工观察中提出了地应力的概念，并把地下深处的岩体设想为各方向压力相等的静水应力状态；此后苏联学者金尼克对其静水压力假设作了修正^[8]。

1982 年，林治平在《南昌大学学报（工科版）》发表文章，比较静水应力、球应力与偏应力张量在概念、特性与作用上的差别，主张对这三个概念加以严格区分^[9]。

1993 年，全国科学技术名词审定委员会审定公布《力学名词》第一版，全书共收录 2637 条名词，「静水应力状态」被列入其中，对应的英文为 hydrostatic state of stress^[10]。

自 20 世纪 80 年代起，中国学者吕古贤在矿田构造研究中把构造应力场里各向等应力的那一部分称为「构造附加静水压力」，并提出先从总压力中扣除这一部分、再据此推算成矿深度的方法^[11]。

应用

液体与气体无法承受和传递剪应力，其内部压力即为典型的静水应力；物体浸没在液体之中，或岩石埋在很深的地下，都会遇到这类应力状态^[3][12]。

在地质学与岩石力学中，上覆岩层重量造成岩石静压力，也称为围压，被认为是各向同性的静水应力，其数值随埋深大体呈线性增长；例如在 10 km 深处，岩石静压力约为 320 MPa^[4][13]。

材料试验中，静水压缩试验用来测定体积模量：对试件施加均匀压力，测出相应的体积变化，再由压力与相对体积变化之比得到该常数；材料的体积模量越大，抵抗均匀压缩的能力越强^[14][7]。

在断裂与塑性分析里，常用应力三轴度 η＝－p/q 来衡量静水应力与偏应力的相对贡献，其中 p 为静水压力、q 为 Von Mises 等效应力，该参数可用于判断材料所处的受力条件。

局限

静水应力只刻画应力状态中各向同性的那一部分，仅凭它无法确定一点的完整应力状态，必须与偏应力一并给出^[6]。

对大多数各向同性的金属与陶瓷材料，屈服判断与静水应力基本无关，因此理论上纯静水应力无论多大都无法使这类材料屈服；但岩石、混凝土、泡沫金属等含孔隙或颗粒的材料不同，其屈服与破坏同时取决于静水应力和偏应力，把二者截然分开的简化在这些材料上不再成立^[6][2]。

体积与偏量的分解对理想各向同性材料成立，而对各向异性或接近不可压缩的材料，剪切变形也可能伴随体积改变，此时这种分解更多是建模时的一种假定，而非材料固有的性质^[15]。

在流体中计算静水压力时常用的 P＝ρgz 关系，前提是流体静止、密度沿深度均匀且重力加速度视为常量；当介质分层或存在流动时，需要按各层密度和厚度分别累加^[16][1]。

地质学中把地下岩体统一视为各方向压力相等、不含剪应力的静流体压力模型也受到质疑，有研究者认为这一模型与地下岩石的固体性质以及部分地应力测量结果并不一致^[11]。

参见

• 应力张量 —— 描述一点应力状态的二阶张量，静水应力是它各向同性的那一部分。

• 偏应力 —— 从总应力中扣除静水应力后剩下的部分，控制形状改变。

• 主应力 —— 静水应力状态下三个主应力彼此相等。

• 体积模量 —— 静水应力与体积应变之间的比例系数。

• 岩石静压力 —— 地质学中由上覆岩层自重引起的各向同性压力。