穿针引线法

定义

按作图过程表述，穿针引线法处理的是形如 $f(x)>0$ 或 $f(x)<0$ 的整式不等式，其中 $f(x)$ 可以分解为若干个一次因式的乘积。把 $f(x)$ 的各根由小到大记为 $x_1<x_2<\cdots<x_k$ 并标在数轴上，则当 $x$ 大于 $x_k$ 时每个一次因式都取正值，乘积为正；$x$ 自右向左移动时，每越过一个奇次根符号改变一次，越过偶次根符号不变^[2]。据此，$f(x)>0$ 的解集是各正号区间的并集，$f(x)<0$ 的解集是各负号区间的并集^[2]。

该方法在中学数学教学大纲中被称为穿针引线法，也叫数轴标根法、数轴穿根法、序轴标根法^[1]。其中序轴一词指省去原点和单位、只用来表示数的大小的轴^[1]。在以根轴法为主词条的百科条目中，零点分段法、穿根法、区间法也被列为同一方法的别称。

背景

解乘积形式的不等式时，直接做法是依据同号得正、异号得负的符号法则，把原不等式转化为若干个一元一次不等式组，逐个求解后再取并集^[2]。这种办法在因式较少时可行，但所需讨论的组数随因式个数呈指数增长：5 个一次因式相乘时，需要考虑的不等式组就有 16 个，次数再高便难以承受^[2]。

一次因式的值只在其零点两侧变号，且顺序固定，穿针引线法正是利用这一规律，把繁琐的分类讨论浓缩为一条自右向左延伸的曲线，从而减少了运算量^[2]。分式不等式不能直接去分母，一般先移项、通分，把它化成整式不等式后再沿用同一套图形判断^[3]。

内容

解题通常分几步进行。先通过移项、通分等手段使不等式的一侧为 0，并把另一侧最高次项的系数化为正数。接着对非零的一侧作因式分解，把它写成若干个一次因式，或无法继续分解的二次因式的幂的乘积^[4]。如果在实数范围内某个二次因式恒正或恒负，可先按其符号约去，但要留意不等号方向是否需要改变。

令每个因式为 0，即可解出相应的根，再按由小到大的次序把它们标到数轴上^[4]。因式的幂次决定根的类型：幂次为奇数的是奇次根，幂次为偶数的是偶次根。

穿线从最右边一个根的右上方起笔，向左依次经过各个根所对应的点^[4]。曲线遇到奇次根时穿过数轴，遇到偶次根时不穿过，而是折返回原来的一侧，这条规则常被概括为奇穿偶不穿。

画好曲线后，位于数轴上方的部分对应函数值为正，下方的部分对应函数值为负；不等式为大于 0 时取上方的区间，为小于 0 时取下方的区间。若题目是分式不等式，一般先作同解变形化为整式不等式再穿线，并把使分母为 0 的值从解集中排除。

例如解 $(x-2)(x-1)(x+1)>0$，3 个根由小到大依次为 -1、1、2；从右上方开始画线后，曲线处于数轴上方的区间为 $(-1,1)$ 与 $(2,+\infty)$，两者之并就是原不等式的解集。

影响与争议

该方法主要针对用大于号或小于号连接的严格不等式。若不等式用大于等于或小于等于连接，可能出现某个因式为 0 而其余因式任意取值的情形，直接穿线可能不再适用，取等号的部分需要另行处理。对不能继续分解的二次因式，同样要先判断其正负，方法本身并不自动给出结论。

在后续的教学研究中，穿针引线法被与函数图象的零点性质联系起来。有分析指出，若可导函数的表达式中含有偶重因式 $(x-a)^2$，则 $a$ 是该函数的不变号零点，曲线在偶次根处折返恰好反映了这一特征，相关结论被用于高考中函数图象一类问题的分析^[5]。

该方法在中国高中数学教学中流传较广，北师大版高中数学必修 5 第三章曾以穿针引线法之名介绍一类整式不等式的解法^[1]。由于不同版本教材和文献的用词不一，同一方法出现了根轴法、数轴标根法、序轴标根法、区间法、穿根法等多种名称，命名差异反映了教学侧重点的不同，而操作流程与数学逻辑一致。

参见

• 一元高次不等式 —— 该方法最主要的求解对象。

• 分式不等式 —— 通常先转化为整式不等式，再用穿针引线法求解。

• 因式分解 —— 使用该方法前需要把不等式的一侧化为若干因式的乘积。

• 数轴 —— 标出各根并判断区间符号所用的作图工具。

• 零点 —— 各因式对应方程的根，是曲线穿越或折返的位置。