弧度

定义

弧度是平面角的单位，符号为 rad。在半径为 $r$ 的圆上，若一段弧的长度 $s$ 与半径相等，则该弧所对的圆心角为 1 弧度；一般情形下，圆心角的弧度数按弧长与半径的比值计算，即 $|\theta| = s / r$^[1]。由于比值是两个长度相除，弧度的数值与所用长度单位无关，圆的大小不影响同一个角的弧度数^[2]。

国家标准把平面角表述为以两射线交点为圆心的圆被射线所截的弧长与半径之比，并把弧度定义为圆内两条半径之间的平面角，这两条半径在圆周上所截取的弧长与半径相等^[3]。以弧度为单位度量角的方法称为弧度制，与把圆周 360 等分的角度制并列使用。

角以弧度给出时通常省略单位，或写作 rad；平面角与立体角在量纲上都是无量纲量^[1]。弧度并非弧本身的属性，它衡量的是两条射线张开的程度，名称来自定义时借助的参照圆弧^[1]。

原理

弧度的计算建立在圆周与半径的固定比例上。圆周长等于 $2\pi r$，用半径去量圆周恰好可以量得 $2\pi$ 次，所以一个整周角对应 $2\pi$ 弧度；由此可得 $2\pi$ 弧度等于 360 度，$\pi$ 弧度等于 180 度^[4]。常用的换算关系为 $1^{\circ} = \pi/180$ 弧度，约 0.01745 弧度；$1$ 弧度 $= 180^{\circ}/\pi$，约 57.2958 度，折合约 57 度 17 分 44.8 秒。

在弧度制下，半径为 $r$、圆心角为 $\theta$ 的扇形，弧长公式为 $s = r\theta$，面积公式为 $A = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}rs$，两式中 $\theta$ 均须取弧度值^[5]。角度制下的对应公式分别带有 $\pi/180$ 一类的换算系数，弧度制则消去了这些系数。

弧度制在分析运算中的便利来自基本极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，该式成立的前提是 $x$ 取弧度值；换成角度制时极限值变为 $\pi/180$^[6]。在此基础上，正弦函数的导数为 $(\sin x)' = \cos x$，泰勒展开为 $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$，欧拉公式 $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ 也以弧度表示为最简形式。

当角很小时，$\sin x \approx x$、$\tan x \approx x$ 的近似只在弧度制下成立，这一线性化处理被用于单摆的小角度振动分析等问题^[6]。

flowchart LR

A[半径 r 的圆] --> B[取弧长 s 等于 r]

B --> C[该弧所对圆心角 = 1 rad]

A --> D[任意弧长 s]

D --> E[θ = s / r]

A --> F[整圆周长 2πr]

F --> G[整周角 = 2π rad = 360°]

发展历程

以弧长度量角的思想出现较早。15 世纪初，阿尔·卡西曾使用以直径为基准的分度单位，其一个单位相当于 1/60 弧度。17 世纪，牛顿讨论天体圆周运动时提到过角量，但只作为相对量使用。

弧度制通常归功于英国数学家罗杰·柯茨，他于 1716 年去世；1722 年，其表亲罗伯特·史密斯整理出版柯茨的数学遗稿，在编者注释中给出了将一个弧度换算为度数的计算，除名称之外已完整描述弧度这一单位。另据中国学者的研究，柯茨提出弧度制的时间为 1714 年^[7]。

1748 年，欧拉在《无穷分析引论》中以 $\pi$ 表示单位圆上 180 度所对的弧长，并把这种度量用于分析学计算，使三角函数成为以实数为自变量的函数^[7]。1765 年，欧拉又以半径为单位隐含地采用弧度作为角的单位，得到角速度与线速度的简单关系 $\omega = v/r$。

radian 一词由 radial angle 缩合而来，据考证由詹姆斯·汤姆森于 1871 年 7 月提出，1873 年 6 月 5 日首次印行于贝尔法斯特女王学院的考试题中；托马斯·缪尔在 1869 年已试用该词，1874 年与汤姆森商议后正式采用。此后一段时间内该名称并未通行，1890 年出版的一部三角学教科书仍把弧度称为圆的度量。

在单位制层面，1960 年国际计量大会建立国际单位制时，把弧度与球面度列为辅助单位，其属于基本单位还是导出单位长期未有定论；1980 年国际计量大会将其定为无量纲导出单位，1995 年取消辅助单位这一类，规定弧度和球面度是无量纲导出单位，其名称与符号可按需使用。中国于 1984 年 2 月 27 日由国务院发布命令统一实行法定计量单位，弧度被列入国际单位制的辅助单位，度、分、秒则列为国家选定的非国际单位制单位，换算关系为 $1^{\circ} = \pi/180$ 弧度^[8]。

应用

在数学分析中，弧度是三角函数与指数函数相关公式的默认角度单位，求导、积分、级数展开、微分方程求解等运算均以弧度制书写，以保持公式形式简洁。在解析几何与测量中，弧长与扇形面积公式 $s = r\theta$、$A = \frac{1}{2}r^2\theta$ 直接以弧度给出^[5]。

在物理学中，角速度、角加速度、角频率等量以弧度每秒或其派生单位表示，转动动能、简谐振动和波动方程的描述也以弧度为前提。小角近似 $\sin x \approx x$ 在单摆、光学衍射等工作场景中被用来把非线性问题化为线性问题^[6]。

在工程与观测领域，弧度的千分之一即毫弧度（mrad）常用于测量很小的角度。整圆对应约 6283.185 毫弧度，望远镜瞄准镜的测距分划、激光束的发散角多用毫弧度标定；天文观测中还使用微弧度与纳弧度，角秒与弧度的换算关系为 1 角秒约等于 4.8481 微弧度。军事上以密位近似毫弧度，北约采用整圆 6400 密位的分法，与毫弧度相比约小 1.875%。

在测量与制图中，经纬度、方位角等量常以度分秒记录，需要参与计算时再换算为弧度；大地测量中的子午线弧长、地球曲率修正等计算也在弧度制下进行^[4]。

局限

弧度的数值往往带有 $\pi$ 这样的无理数因子，不便像角度制那样把整周角等分成整数份。整周角为 $2\pi$ 弧度，日常表示 30 度、45 度等常用角时需要写成 $\pi/6$、$\pi/4$ 的形式，口头估算角度大小不如度数直观。

弧度作为无量纲量在单位制中的定位仍有争议。由于弧度可写成米每米即数值 1，其是否应作为独立的基本量存在不同意见；有研究指出国际计量大会 1980 年与 1995 年的相关决定在论证上并不一致，国际计量委员会曾设立工作组讨论角度与无量纲量在单位制中的处理方式，但至今未形成统一结论。

弧度并非在任何场合都替代角度。在中国，度、分、秒属于国家选定的非国际单位制法定计量单位，日常方位、地理坐标、测量仪器读数仍以度分秒为主，弧度主要用于理论计算与公式推导^[8]。弧度与角度混用于同一表达式会造成错误，换算时须先统一单位。

此外，弧度制带来的公式简洁性依赖于角的连续取值，在只涉及整周等分、角度加减等初等运算的场合，采用弧度并不能减少计算量，反而需要额外换算^[9]。

参见

• 角度制 —— 把圆周 360 等分来度量平面角的另一种单位制。

• 球面度 —— 与弧度对应的立体角单位，用于度量三维空间中的张角。

• 国际单位制 —— 弧度在其中被列为无量纲导出单位的计量体系。

• 三角函数 —— 以弧度为自变量时导数与级数形式最简洁的一类函数。

• 弧长 —— 与半径之比直接给出圆心角弧度数的曲线长度。

• 密位 —— 军事上近似毫弧度的角度单位。