中值滤波

定义

中值滤波是一种基于排序统计理论的非线性平滑技术，其做法是用一个像素邻域窗口内各灰度值的中值来替代该像素原来的灰度值^[1]。它属于次序统计滤波器的一种，输出结果不依赖加权平均，而依赖窗口内样本按大小排序后所处的位置^[2]。

作为图像去噪手段，中值滤波被认为最典型的用途是处理脉冲噪声，也就是通常所说的椒盐噪声^[4]。此外，它常被归入低通滤波的范畴，主要作用是在滤除尖锐干扰的同时保持目标边缘^[5]。

原理

中值滤波的基本思想是把滤波窗口内的最大值和最小值都视作噪声，用窗口内灰度值的中值替换中心像素的灰度，从而在一定程度上抑制噪声^[2]。若窗口内像素总数为奇数，中值即排序后位于中间的那个值；若总数为偶数，中值取排序后中间两个值的平均^[6]。

设 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 为窗口内的样本，将其按大小排列后，一维中值滤波的输出可写作 $y = \mathrm{med}(x_1, x_2, \ldots, x_n)$^[7]。二维形式则为 $g(x,y) = \mathrm{med}\{f(x-i, y-j)\}$，其中 $S$ 表示模板窗口，$f$ 和 $g$ 分别为滤波前后的像素灰度值^[8]。

处理流程通常包含确定奇数尺寸模板、边界填充、邻域排序与中值替代等步骤^[1]。二维模板的形状除方形外，还可采用线状、圆形、十字形与圆环形等，不同形状会带来不同的滤波效果，例如含尖顶物体的图像更适合十字形窗口。

发展历程

中值滤波由统计学家图基（Tukey）在1971年提出，最早的用途是时间序列分析中的稳健噪声抑制^[9]。其设计建立在次序统计理论基础之上，因而具备稳健估计的特点^[10]。

此后该方法被引入图像处理领域，用于图像去噪与复原，并逐渐成为非线性滤波的代表性方法之一^[2]。由于标准中值滤波存在窗口尺寸固定等不足，研究者陆续提出了自适应中值滤波、加权中值滤波、开关中值滤波以及多窗口中值滤波等改进算法^[3]。其中自适应方案会根据预设条件在滤波过程中动态改变窗口尺寸，并判断当前像素是否为噪声，以兼顾去噪与细节保留^[11]。

在实现层面，为降低排序带来的运算量，出现了基于直方图统计和基于均值查找的快速算法，有研究将时间复杂度从 $O(n \ln n)$ 降到 $O(n)$^[1]。同时，现场可编程门阵列等硬件平台利用并行处理能力实现实时中值滤波，被用于对实时性要求较高的图像采集与处理系统^[7]。

应用

中值滤波是图像去噪中最常用的非线性方法之一，广泛用于去除图像采集和传输过程中产生的脉冲噪声^[10]。在医学影像领域，它被用于处理核磁共振、计算机断层扫描与超声等图像中的噪声^[12]；也有研究将其用于X射线等放射图像中椒盐噪声的校正^[13]。

在遥感与工业场景中，中值滤波用于遥感图像预处理以及工业视觉检测等对实时性有要求的任务^[10]。视频监控、嵌入式视觉系统和消费级摄像设备也常把它作为预处理环节，用于在去噪的同时保持目标轮廓的清晰^[14]。

除二维图像外，该方法还被扩展用于心电图信号滤波、轨迹纠偏等一维信号处理任务^[1]。在工程实现上，中值滤波常与高斯滤波、边缘检测等算法组合，构成完整的图像处理流水线^[5]。

局限

中值滤波的效果在很大程度上取决于滤波窗口的大小与形状^[11]。窗口较小时能较好保留图像细节，但去噪能力有限；窗口较大时去噪更彻底，却容易使图像变得模糊，两者之间存在矛盾^[3]。

标准中值滤波对窗口内所有像素采用统一的处理方式，在改变噪声点数值的同时也会改信号点的数值，并且噪声有可能在邻域内传播^[15]。当窗口内噪声像素的数量超过非噪声像素时，中值滤波便难以有效滤除噪声^[3]。

由于中值滤波不具备平均作用，在处理高斯噪声时效果较差，还会损失信号的高频信息，使边缘等细节变模糊^[2]。对于点、线、尖顶等细节较多的图像，其滤波效果同样不理想^[15]。此外，它只能抑制延续距离小于窗口长度一半的噪声，随着窗口增大，有效信号的损失也会明显增加。

参见

• 均值滤波 —— 另一种常见的空间域平滑方法，采用邻域均值替代中心像素，对高斯噪声效果较好但对边缘的模糊更明显。

• 椒盐噪声 —— 中值滤波最擅长抑制的脉冲型噪声，在图像中表现为孤立的极大值或极小值像素。

• 自适应中值滤波 —— 在标准中值滤波基础上动态调整窗口尺寸并检测噪声点的改进算法。

• 次序统计滤波器 —— 中值滤波所属的滤波器类别，输出结果由窗口内样本的排序位置决定。

• 边缘检测 —— 常与中值滤波配合使用的图像处理步骤，用于从图像中提取结构信息。