同方差

定义

同方差是指一组随机变量或一个统计模型中各观测的误差项具有相同有限方差的情形，也称方差齐性、等方差性、方差同质性。其英文为 homoscedasticity，词根来自希腊语中表示「相同」与「离散」的成分，同义拼写 homoskedasticity 也常被使用^[1]。与之互补的概念称为异方差，即不同组别或自变量不同取值下的方差并不相同^[1]。

在中文统计学与数学文献中，该概念既可用来描述单一自变量不同取值下因变量方差保持恒定，即方差与自变量取值无关，也可用来描述多个样本所来自总体的方差彼此等同^[2]。它通常与正态性、独立性并列，构成方差分析和 t 检验等方法的适用前提^[2]。

原理

在线性回归模型 $y = X\beta + \epsilon$ 中，误差项满足均值为零。若对自变量的任意取值，误差的方差都等于同一个常数 $\sigma^2$，则该模型满足同方差假设；若方差随观测而变，则称为异方差^[1]。同方差的价值在于允许把各组信息合并：当比较的多个组具有相等方差时，可以把各组方差估计合成为一个更稳定的合并方差，用于 t 检验和方差分析，从而提升检验的统计功效^[3]。

可以用残差图直观检查这一假设。以自变量或预测值为横轴、残差为纵轴作图，若同方差成立，散点应呈一条大致等宽、无规律的带状分布；若出现喇叭形或漏斗形，即残差散布随预测值增大而扩张，则提示存在异方差^[4]。在异方差情形下，普通最小二乘估计量仍然无偏，但不再有效，基于同方差假设计算的方差估计有偏，所得标准误、置信区间与显著性检验因此不可靠^[1]。

发展历程

对同方差的检验方法主要形成于 20 世纪。巴特利特(Maurice Stevenson Bartlett)于 1937 年提出基于似然比的方差齐性检验，用于判断多个样本是否来自方差相同的正态总体；该检验对数据偏离正态较为敏感^[5]。莱文(Howard Levene)于 1960 年提出对分布假设依赖更少的检验，布朗与福赛斯(Morton B. Brown 与 Alan B. Forsythe)于 1974 年进一步将其扩展，改用中位数或截尾均值作为中心，提高了对非正态数据的稳健性^[5]。

在计量经济学方向，戈德费尔德与匡特(Stephen M. Goldfeld 与 Richard E. Quandt)于 1965 年给出针对同方差的检验，布雷施与帕甘(Trevor S. Breusch 与 Adrian R. Pagan)于 1979 年提出一类不要求具体方差形式的拉格朗日乘数检验^[5]。怀特(Halbert White)于 1980 年提出异方差一致协方差矩阵估计量与相应的直接检验，使在方差不齐时仍可对回归系数作可靠推断^[5]。恩格尔(Robert F. Engle)于 1982 年提出自回归条件异方差模型，用于刻画随时间变化的波动率，并因此获得 2003 年诺贝尔经济学奖^[6]。

应用

同方差假设广泛用于均值比较与线性建模。方差分析和 t 检验在推导中都假定各组总体方差相等，因此研究者常在比较均值之前或之后检验该假设^[7]。常用工具包括巴特利特检验、莱文检验、布朗-福赛斯检验和 F 检验等；不同检验对正态性和离群值的敏感程度不同，需结合样本量、分布形态和设计平衡情况选用^[8]。

在回归建模中，检验同方差的手段包括残差图分析、布雷施-帕甘检验和怀特检验。怀特检验的做法是把原模型的残差平方对原自变量、其平方项以及交叉乘积项作辅助回归，再用样本量与拟合优度的乘积 $nR^2$ 构造统计量^[9]。若检验显示方差不齐，可对因变量作变换，或采用加权最小二乘法，即给误差方差较大的观测较小权重，权重通常取误差方差的倒数^[10]。当方差结构不易刻画时，也可改用异方差一致标准误，直接得到可靠的 t 值与 p 值^[9]。

局限

同方差本身是一项假设而非结论，检验不会给出确定的答案。方差齐性检验得到较大的 p 值只意味着没有发现足够证据证明方差不等，并不等于各总体方差精确相等；结论还受各组样本量、离群值、分布形状和实验设计平衡程度的影响^[8]。多种检验之间也可能出现分歧，因为它们对偏度、极端观测和不平衡设计的敏感度各不相同，不存在对所有情形都最优的单一检验^[8]。

在方法选择上，先用检验判断方差是否齐性、再据此决定使用合并方差 t 检验还是韦尔奇检验的两步做法，被指出会明显放大第一类错误，因此是否采用不等方差方法应依据研究设计事先确定^[11]。此外，加权最小二乘法依赖于对方差形式的正确设定，它能修正方差不齐带来的效率损失，但无法纠正均值模型本身的设定错误^[10]。对回归而言，异方差不会使最小二乘系数估计产生系统偏差，其危害集中在推断环节，因而被归为二阶设定问题^[1]。

参见

• 异方差 —— 与同方差相对的概念，指方差随组别或自变量取值而变化。

• 方差分析 —— 假定各组方差相等的常用统计方法。

• 线性回归 —— 其经典假设中包含误差项同方差。

• 加权最小二乘法 —— 用于在方差不齐时重新加权估计的回归方法。

• 莱文检验 —— 用于检验多组方差是否相等的检验方法。

• 怀特检验 —— 回归模型中检验异方差的直接检验方法。