过程能力

定义

过程能力指过程处于稳定受控状态时本身具备的加工能力,衡量的是过程输出的内在一致性,即稳定状态下的最小波动^[2]。它以产品质量特性值的分散程度来表示,分散越小说明能力越高,分散越大说明能力越低。按统计原理,分布范围 μ±3σ 内约包含 99.73% 的数据,因此习惯把 6 倍标准差 6σ 作为过程能力的量度,记为 B=6σ^[2]。过程能力由质量因素决定,与公差宽严无关,这一点把它和单纯讲加工数量的生产能力区分开^[2]。

把过程能力与要求比较的量化指标称为过程能力指数,又称工序能力指数,表示过程满足技术标准(如规格、公差)的程度^[3]。中国国家标准把它表述成规定的容差与过程离散程度之比，即 PCI=(UTL−LTL)/6σ，其中 UTL、LTL 分别为上、下容差限，σ 由平均组内变差估计^[5]。

原理

计算以两条假设为前提:过程已调整到统计控制状态,且质量特性值近似服从正态分布^[5][6]。最基本的指数 Cp 只用到规格限与标准差,不计过程均值的位置,其定义为 $Cp=\frac{USL-LSL}{6\sigma}$;若用样本标准差 s 代替 σ,即得估计值^[6]。当 σ 未知时,也可由极差均值与修偏系数、或样本标准差均值与修偏系数来估计^[2]。

Cp 的前提是分布中心与规格中心重合,现实中很少成立,于是引入考虑偏移的 $C_{pk}=\min\left[\frac{USL-\mu}{3\sigma},\frac{\mu-LSL}{3\sigma}\right]$,同时反映分散程度与均值偏离^[6]。用偏移度 k=|m−μ|/[(USL−LSL)/2] 可写成 $C_{pk}=C_p(1-k)$,其中 m 为规格中心,且恒有 Cpk≤Cp^[6]。只有单侧要求时,分别计算 $C_{pu}=(USL-\mu)/3\sigma$ 或 $C_{pl}=(\mu-LSL)/3\sigma$^[6]。

另一组常与 Cp、Cpk 并列的指数是 Pp、Ppk,公式形式相同,区别在于标准差采用全部样本的总标准差,因而反映长期变异,其中还包含特殊原因造成的波动^[6][3]。因此过程性能的分布通常比过程能力的分布更宽,两者对比可用来判断改进的优先次序^[7][3]。

发展历程

过程能力指数并非由某一人单独提出,其理论基础可追溯到 20 世纪早期沃尔特·休哈特等人在统计过程控制方面的奠基性工作。此后约瑟夫·朱兰把过程变异 6σ 与公差要求相比较,把过程能力同顾客规格联系起来,形成 Cpk 类指数的早期形态^[8]。早期所谓过程能力仅指过程变异本身,既不涉及客户要求,也难以在不同过程之间比较,正是这一比较思路带来了指数的出现^[8]。

随着应用扩大,研究者陆续提出第二代指数,把目标值纳入评价,例如 Cpm 与 Cpmk,用以衡量输出围绕目标值聚集的程度^[8]。1980 年代后期起,六西格玛管理在摩托罗拉推行并传播开来,过程能力指数成为其常用度量之一^[9]。六西格玛还引入约 1.5σ 的均值漂移假设,关于该假设的由来与合理性在统计界一直存在讨论^[10]。

标准化工作随后跟进。中国在 2001 年发布 GB/T 4091—2001《常规控制图》,其中把过程能力作为与控制图配套的补充内容加以介绍^[11]。2021 年,GB/T 40681《生产过程能力和性能监测统计方法》的第 4 至第 6 部分批准发布,并于 2022 年 5 月 1 日起实施,分别处理连续数据、计数数据和多元特征的情形^[1]。

应用

在制造业中,过程能力分析用于判断某道工序实际能达到的质量水平,据此稳定质量、降低生产成本,也是供应商评价和工序间质量评价的统计工具^[1]。指数值有常用的判断区间:Cp 或 Cpk 在 1.33 至 1.67 之间视为能力充分,1 至 1.33 之间为正常但接近下限,小于 1 则为不足,需要改进^[3]。国家标准在实际工作中通常取 1.33 作为最小可接受值,理由是存在抽样误差,且过程很难长期保持完全受控^[5]。

指标还可以换算成预期不合格率,例如 Cp 为 1 时对应约 2700 ppm,1.33 时约 63 ppm,1.67 时约 0.6 ppm,2 时低于 0.1 ppm^[8]。同一数值在不同分布下对应的不合格率并不相同,若都为 Cpk=1,正态分布约为 2700 ppm,而重尾分布的预期不合格品数量明显更多^[12]。除制造环节外,过程能力的衡量方法也可用于服务业流程^[13]。

局限

指数计算依赖若干假设:过程受控、数据独立同分布、服从正态分布,这些前提在实际中常被违反。Cpk 只对钟形正态分布表现良好,对其他分布只是近似;由于它针对单个产品的分布而非样本均值,中心极限定理在此不提供帮助^[12]。对非正态数据的一种处理办法是先作变换,如取对数、平方根或倒数,规格限也须相应变换^[12]。

Cp 不考虑均值位置,即使 Cp 很高,仍可能有一定比例的输出超出规格限,因此必须结合过程均值与最近规格限的间距来判断^[5]。当均值偏离规格中心时,用 Cp 衡量实际能力会高估,它只能表示把均值调到中心后可能达到的潜在能力^[13]。此外,能力研究通常只给出单点估计,忽略了抽样误差,更稳妥的做法是构造置信区间^[14]。

在化工等流程行业,连续观测值往往存在自相关,独立性的假设不再成立,传统方法算出的指数会产生偏差^[15]。测量误差也会给能力评估带来额外的不确定性,若忽略这些来源,可能得出不准确的结论^[14][15]。对于计数型质量特性和多个质量特征同时存在的情形,基于单一连续变量的计算方法也不适用,需按相应标准的专门方法处理^[1]。

参见

• 统计过程控制 —— 过程能力分析是其组成部分,并以过程处于统计控制状态为前提。

• 控制图 —— 用于判断过程是否受控,是计算过程能力指数的前置工具。

• 六西格玛 —— 把过程能力指数作为衡量质量水平的标准工具之一。

• 标准差 —— 刻画过程变异大小,是各项能力指数的分母来源。

• 工序能力指数 —— 过程能力指数的另一称法,侧重按工序评价加工能力。

• 质量损失函数 —— Cpm 等指数借以衡量输出偏离目标程度的思路来源。