虚功

定义

虚功指力在虚位移上所作的功。虚位移是质点在某一瞬时可能发生的、与当时所受约束相容的假想微小位移，它并不真的发生，也不涉及运动过程所需的时间^[1]。把作用在系统各点上的力与对应虚位移作内积并求和，得到的就是该力系在这一虚位移上的虚功^[2]。

虚功中的「虚」字并不是「虚无」的意思，而是强调位移的成因与作功的力无关：位移由其他力、支座移动或温度改变等引起，作功的力在此期间视为常力^[2]。与实功相似，虚功可分为外力虚功与内力虚功两类；前者是外力在虚位移上作的功，后者是结构内部各截面上的内力在相应虚变形上作的功^[2]。

原理

虚功与实功的关键差别在于作功过程中力是否为变力。实功由与位移成比例的变力作出，外力功是位移的二次函数，因而不能叠加；虚功则是常力作功，外力功与虚位移成线性关系，可以按叠加原理逐项相加^[2]。由于虚位移可正可负零，虚功也随之取正值、负值或零：力与位移同向为正，反向为负，两者垂直时虚功为零^[2]。

虚功原理把虚功与平衡条件联系起来。对具有理想、双侧、定常约束的质点系，系统在给定位形保持平衡的充要条件是所有主动力在任一组虚位移上所作元功之和为零，即 $\delta W=\sum \mathbf{F}_i\cdot\delta\mathbf{r}_i=0$，此式又称虚功方程^[3][4]。推导时可对每个质点写出主动力与约束力的平衡式，利用理想约束下约束力在虚位移上不作功的性质，把约束力项消去，只留下主动力的虚功^[5]。

对变形体，原理扩展为外力虚功等于变形虚功：变形体系处于平衡的充要条件，是对任何虚位移，外力所作虚功的总和等于各微段截面上的内力在其相应变形上所作虚功的总和^[2]。刚体的虚功原理则是变形体情形的特例，即任何虚位移下外力虚功之和恒为零^[2]。

发展历程

虚功思想的雏形可追溯到简单机械时代。杠杆、滑轮、斜面等机械中作用力与位移成反比的规律，即所谓「力学金律」，已隐含虚功原理的基本关系^[5]。学界一般认为，虚位移原理的萌芽可上溯至阿基米德给出杠杆原理的时代，但长期只以零散形式存在^[6]。

1717 年，约翰第一·伯努利对虚功原理作出一般性表述，当时称为虚速度原理^[5][6]。1764 年，法国数学家和力学家拉格朗日提出以虚功方程表达的虚位移原理，并针对受约束质点系引入广义坐标描述法，结合达朗贝尔原理建立起完整的分析力学体系；此后「虚速度原理」的提法逐渐被「虚位移原理」或「虚功原理」取代^[4][6]。

此后原理的适用范围由自由质点、受约束质点系扩展到刚体与可变形连续体，形成贯穿理论力学、结构力学和弹性力学的虚功原理体系；19 世纪末至 20 世纪初，阿佩尔等人又给出了形式不同的表述^[6]。近代研究中，虚功原理被用于建立接触问题的有限元公式，把变形体的微单元视为质点后按质点系虚位移原理处理^[7]。

应用

在静力学与机构分析中，虚功原理可以绕开逐个隔离体画受力图、联立平衡方程的常规做法，改为寻找系统各点虚位移之间的几何关系，直接写出一个虚功方程求解未知力^[5]。对单自由度机构，原理退化为主动力与从动力和相应位移成反比的关系，可用于曲柄滑块等机构的力分析^[5]。

在结构力学中，由于虚功原理里力系与位移彼此独立，既可把位移状态设为虚设，也可把力状态设为虚设，由此形成虚位移原理与虚力原理两种应用形式，分别用于求未知力和求位移^[8]。与平衡方程法相比，用虚位移原理处理静定结构平衡问题时，可只用一个虚功方程求出目标未知力，无需先求支座反力或解联立方程组^[1]。

在弹性力学与计算力学中，虚功原理是各类能量原理与能量方法的核心，最小势能原理、最小余能原理以及单位载荷法等均可由它导出；解析塑性加工问题的能量法和有限元法也以变分原理为基础^[9][10]。此外，该原理还被推广到电磁力计算，用于由有限元与虚位移原理给出铁磁介质中局部电磁力的等效节点力分布^[1]。

局限

虚功原理的适用以约束性质为前提。原理的标准表述针对理想、双侧、定常约束，若存在摩擦等非理想约束，需把摩擦力一并当作主动力列入虚功方程，原理才能继续使用^[3][5]。对变形体还要求力系在变形过程中始终保持平衡、变形连续而不出现搭接与裂缝^[2]。

作为求解工具，虚功原理也有明显的效率边界。它给出的只是一个关于虚功的代数和条件，对多数平衡问题并不比常规方法简便；用于求约束反力时需要解除相应约束、把反力当作主动力，或引入拉格朗日乘子以保证广义坐标虚位移的独立性，过程较为繁复。若要求出全部约束反力，虚功原理相对牛顿力学方法并无优势^[11][10]。此外，不同教材对变形体虚功原理的表述与理解并不完全一致，充要性命题的证明范围也存在差异，使用时需注意所依据的版本与条件^[10]。

参见

• 虚位移 —— 虚功定义所依赖的假想微小位移，须与当时约束相容

• 虚功原理 —— 以主动力虚功之和为零表述的质点系平衡充要条件

• 分析力学 —— 以虚位移原理和达朗贝尔原理为基础建立的力学分支

• 达朗贝尔原理 —— 引入惯性力把动力学问题化为静力平衡形式处理的原理

• 有限元法 —— 以虚功原理和变分原理为基础建立求解方程的数值方法

• 结构力学 —— 虚位移原理与虚力原理的主要应用领域之一