纽结

定义

在数学中，纽结指三维欧氏空间或三维球面中一条不自交的封闭曲线，也就是与圆周同胚的子空间^[2]。把有限多条互不相交的圆周放在空间里，得到的是链环（link），只有一个分支的链环就是纽结^[2]。日常的绳结两端是自由的，数学家则把两端接起来，使打结的形态无法靠“抽头”解开，这样打结才成为可以严格讨论的几何对象^[1]。

若存在一族连续的空间自同胚，把一条闭曲线逐步送到另一条上且全程不发生穿透，则两个纽结称为合痕等价；与平面上的圆周等价的纽结叫平凡结，其余为非平凡结^[2]。打结现象只在三维中出现：平面里曲线无法真正缠绕，四维及以上空间中任何纽结都能被解开^[1]。同一等价类的纽结常被简称为一个“纽结类型”，三叶结（$T(2,3)$）和八字结是交叉数最小的两个非平凡例子^[1]。

原理

把纽结沿某个合适的方向投影到平面上，并规定每个二重点处哪一股在上、哪一股在下，就得到纽结图；适当选取投影方向可使所有交点都是二重的^[2]。纽结的等价类由它的投影图完全决定，但同一纽结对应许多不同的图^[1]。赖德迈斯特（Reidemeister）证明，两张图表示同一纽结，当且仅当能通过有限次三类局部变换（$\Omega_1$ 扭结消去、$\Omega_2$ 双点加去、$\Omega_3$ 跨线滑移）互相转化^[2]。

判定“相同”容易，判定“不同”却难，于是需要不变量，即在合痕下方保持不变的量^[1]。交叉数是投影图中交点个数的最小值，平凡结为 0，左手与右手三叶结均为 3^[2]。更强的不变量是纽结群，即从空间中挖去该纽结后余下区域的基本群；它可由投影图按 Wirtinger 方式写出生成元与关系，但两个群的同构问题一般难以判定^[3]。1928 年亚历山大（J. W. Alexander）给出的多项式不变量可用 Seifert 矩阵的行列式计算，写成 $\Delta_K(t)=t^{-k/2}\det(M-tM^{\mathsf T})$，其中 $M$ 为 $k$ 阶 Seifert 矩阵。

发展历程

纽结的系统研究始于 19 世纪 60 年代。汤姆孙（开尔文勋爵）提出以太中的“涡旋原子”假说，认为原子是打结的旋涡管，泰特（P. G. Tait）为支持这一假说而着手按交叉数给纽结编制表格，用约 25 年时间列出交叉数不超过 10 的纽结^[4]。原子假说后来被否定，但纽结分类由此成为独立的数学课题^[5]。

20 世纪前期，纽结研究转入拓扑学框架：1908 年蒂策（H. Tietze）用纽结群区分三叶结与平凡结，1910 年前后德恩（M. Dehn）完善纽结群概念并于 1914 年证明左手与右手三叶结不等价，1928 年亚历山大多项式问世，1969 年康威（J. Conway）给出便于递推计算的形式。1984 年，琼斯（V. Jones）借助冯·诺依曼代数与辫群表示发现新的多项式不变量，即琼斯多项式，它能够区分许多纽结与其镜像，成为纽结理论的重要转折^[6]。此后与统计力学可解模型、量子群相联系的一系列不变量相继出现，威滕（E. Witten）等又把相关思想推广到三维流形^[7]。

纽结表的编制长期依赖手工，20 世纪后期借助 Dowker 表示与计算机程序大幅推进，交叉数不超过 16 的全部素纽结已列出。表中曾长期存在的重复也在 1974 年由佩尔科（K. Perko）发现，两个被认为是不同纽结的图形其实等价，即所谓 Perko 对^[4]。

应用

纽结理论在分子生物学中较早找到落点。环状 DNA 在拓扑异构酶作用下会被切断再接合，从而形成打结、连环或超螺旋等不同拓扑状态，1976 年先在单链 DNA 中、1980 年又在双链 DNA 中观察到纽结^[8]。DNA 凝胶电泳可依据迁移速度差异分离这些拓扑异构体，纽结越复杂分子通常越紧凑，迁移行为随之改变^[9]。

在化学上，拓扑结构本身成为合成的目标。1989 年第一个分子纽结被合成，此后金属模板、氢键模板等策略被用于制备三叶结等分子结；由于左手与右手三叶结是不同的拓扑异构体，这类分子表现出与镜像不同的性质，被认为在纳米技术、生物技术和医学中有潜在用途^[9]。此外，纽结理论被视为拓扑量子场论、拓扑弦理论的重要数学工具，也被用于描述凝聚态材料中能带简并形成的结状结构^[10]。

局限

纽结分类远未完成：至今没有任何已知的不变量被证明能唯一区分所有纽结，每种不变量都存在无法分辨的情形^[4]。亚历山大多项式无法区分纽结与其镜像，琼斯多项式虽能处理许多手性问题，却仍不是完全不变量，存在无穷多不等价纽结具有相同的琼斯多项式。

具体判定问题同样困难。给定投影图求交叉数、解结数一般没有简便办法，例如 $8_{19}$ 不是交错纽结这一点直到 1930 年才有证明，$8_3$ 解结数为 2 的确认迟至 1986 年。由泰特提出的猜想——复合纽结的交叉数等于两者之和——已悬置一百三十余年，仍在研究中。此外，纽结理论最初处理的理想闭曲线与实际大分子、开放链之间存在差距，把线性链的端点以何种方式闭合会改变所判定的纽结类型，闭合方案本身尚需谨慎选择^[9]。

参见

• 链环 —— 由多个互不相交圆周组成的一般对象，纽结是它的单分支情形。

• 三叶结 —— 交叉数最小的非平凡纽结，常被用作例子和检验不变量的标尺。

• 琼斯多项式 —— 1984 年发现的多项式不变量，能区分部分纽结的手性。

• 亚历山大多项式 —— 最早的多项式不变量，可由 Seifert 矩阵计算。

• 拓扑异构酶 —— 在 DNA 中引入和消除纽结的酶，是纽结理论生物学应用的关键。