正交表

定义

正交表是一种按正交结构专门编制的规格化表格，用来安排部分实施的析因试验。若一张表有 $n$ 行 $r$ 列、每列只出现 1 至 $m$ 共 $m$ 个数字，通常记作 $L_n(m^r)$，其中 $m$ 称为水平数，$n$ 为试验次数，$r$ 为可安排的因素个数上限^[1]。以 $L_9(3^4)$ 为例，它表示该表共 9 行、最多可排 4 个因素、每个因素取 3 个水平，按此表安排需做 9 次试验^[2]。

各列水平数相同的称为等水平正交表，水平数不完全相同的称为混合水平正交表^[3]。按强度划分时，任意 $t$ 列中每个 $t$ 元组都出现相同次数的表，称为强度为 $t$ 的正交表^[4]。

原理

正交表之所以能代表全面试验，关键在于两条结构性质。其一是每一列中各水平出现的次数相同，例如 $L_9(3^4)$ 中数字 1、2、3 各出现 3 次；其二是任意两列同一行的数字组成有序对时，各种数对出现的次数也相同，该表任意两列可形成 9 种有序对且各出现一次。这两条性质分别对应试验点的均衡分散与整齐可比，使各因素各水平的搭配在整体试验空间中分布均匀^[5]。

从线性代数的角度看，对因素取值作线性代换后按正交表安排试验，任一列的列和为零、任意两列的内积也为零，这样的试验设计即称为正交设计，所得计划称为正交计划^[6]。正因列间正交，各因素的主效应可以相互独立地估计，一个因素的效应不会干扰另一个因素的估计。试验结果通常用极差分析或方差分析处理，以判断各因素的主次与显著性。

发展历程

正交阵列的概念可追溯到拉奥 1943 年的硕士论文及其 1946 年至 1949 年间的三篇论文，他最初研究的是所谓“强度超立方体”的特例，随后推广到一般正交阵列；英文名称 orthogonal arrays 则由布什(Bush)在 1950 年首次使用^[4]。中文文献也多将正交表的引入归于拉奥 1947 年研究试验设计时提出的组合构形^[7]。

20 世纪 50 年代初，日本电讯研究所的田口玄一等人在费歇尔多因素配置法的基础上发展出正交试验技术，并把选定的水平组合列成表格使用，这套方法后来被称为田口方法^[8]。田口玄一曾整理出 18 张常用正交表，其中多张属于饱和设计，即可在 $N$ 次试验中安排 $N-1$ 个因素^[9]。混合水平正交表在 20 世纪 60 年代初受到更多关注，此后其构造方法不断丰富，并与有限几何、纠错码、哈达玛矩阵和拉丁方等对象建立了联系^[4]。

应用

在工农业生产和产品开发中，正交表主要用于筛选影响指标的主要因素并确定较优的参数组合。三因素三水平的试验若做全面试验需 27 次，按 $L_9(3^4)$ 安排只需 9 次；六个五水平因素若全面铺开需 15625 次，用正交表则 25 次即可^[10]。在田口方法的三次设计中，参数设计阶段即以正交表安排试验，并借助信噪比衡量质量特性的稳健程度^[8]。

软件测试是正交表的另一类用途。把界面控件或配置项视为因素、其取值为水平，可用正交表生成数量较少而覆盖面较广的测试用例，用于发现单个因素及两两组合引发的故障^[11]。这类做法常与组合测试、覆盖阵列等概念配合使用，在输入组合数量庞大、无法穷举时尤为适用^[4]。

局限

正交表以牺牲部分信息换取试验次数的减少，其代价是估计精度低于全面试验。部分实施法的试验误差通常比全面试验大，估计量的精确度较小，结果解释也相对复杂^[12]。因此在不考虑交互作用时，试验次数需不少于因素个数与“水平数减一”之积再加一；若还要考察交互作用，则需相应增加次数或改用更大的表^[13]。

交互作用的安排是另一处限制。两个 $m$ 水平因素的交互作用要占 $m-1$ 列，其列位置由所用表格的结构决定，不能任意安放^[14]。当因素与交互作用被排进同一列时会出现混杂，既无法分析该因素的主效应，也无法分析相应的交互作用，通常只能改用更大的正交表或接受部分混杂^[15]。此外，正交表主要关注主效应，对弯曲等非线性趋势的识别能力有限。

参见

• 田口方法 —— 以正交表安排试验、以信噪比衡量稳健性的质量工程方法。

• 试验设计 —— 研究如何安排试验并分析数据的数理统计分支，正交表是其常用工具。

• 拉丁方 —— 与正交表构造密切相关的组合构形。

• 部分实施法 —— 从全面试验中挑选代表性组合的做法，正交表是其最方便的工具。

• 均匀设计 —— 保留均匀分散性而舍弃整齐可比性的另一种试验设计方法。

• 组合测试 —— 用正交表等组合设计生成软件测试用例的技术。